Докажите что при всех натуральных значениях n значение выражения кратно 7

Для того чтобы доказать, что при всех натуральных значениях n выражение кратно 7, мы должны показать, что оно делится на 7 без остатка. Давайте разобъем задачу на несколько шагов:

Шаг 1: Упростить выражение


Так как это деление, мы можем применить правила деления степеней с одинаковым основанием, и выражение станет:



Шаг 2: Представить выражение в виде произведения

Мы можем разделить числитель и знаменатель на 7, так как это поможет нам показать, что выражение кратно 7. Тогда выражение будет:



Шаг 3: Докажите, что части выражения кратны 7

Мы знаем, что 22 делится на 7 без остатка, так как 7 * 3 = 21, а 22 = 21 + 1. То есть - кратно 7.

Теперь рассмотрим степенные части. Мы можем применить правила степеней и выражение станет:



Мы также можем сократить x в числителе и знаменателе, чтобы упростить выражение:



Теперь мы видим, что часть выражения является кратной 7. Для этого важно заметить, что число 15 делится на 7 без остатка, так как 7 * 2 = 14, а 15 = 14 + 1.

Поэтому весьма вероятно, что выражение кратно 7 при всех натуральных значениях n.

Однако, чтобы доказать это абсолютно уверенно, нам нужно провести более формальное доказательство, используя математические индукции или другие методы.