Докажите, что последовательность заданная формулой сn=(3n-1)/(5n+4) монотонно возрастающая и ограниченная. найдите число к которому стремится сn.

Ответы

ksenia721 08.07.2020 11:17

Найдем разность между двумя соседними членами.
$c_{n+1}-c_n=\dfrac{3n+2}{5n+9}-\dfrac{3n-1}{5n+4}=\dfrac{(3n+2)(5n+4)-(3n-1)(5n+9)}{(5n+4)(5n+9)}=\\=\dfrac{17}{(5n+4)(5n+9)}$
Из выражения для разности очевидно, что сама разность положительна - числитель и знаменатель положительны. Тогда последовательность возрастающая.

Я утверждаю, что все члены не больше 3/5. Действительно, cn < 3n / 5n = 3/5 (я уменьшила знаменатель и увеличила числитель, от этого дробь стала больше). Для успокоения можно всё написать по-честному:
$\dfrac35-c_n=\dfrac35-\dfrac{3n-1}{5n+4}=\dfrac{(15n+12)-(15n-5)}{25n+20}=\dfrac{17}{25n+20}0$

К слову, удалось доказать, что искомый предел равен 3/5: понятно, что 17/(25n + 20) стремится к нулю при больших n. А по определению число А называется пределом последовательности xn, если |xn - A| стремится к нулю.

Найти предел можно было и так: разделим числитель и знаменатель на n
$\dfrac{3n-1}{5n+4}=\dfrac{3-\frac1n}{5+\frac4n}\to\dfrac{3-0}{5+0}=\dfrac35$

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

JuliusM 08.07.2020 11:17

Подставляя значения n=1, 2, ..., n,
убеждаемся, что последовательность возрастающая.

Находим предел (при n стремящемся к бесконечности)

lim ((3*n-1)/(5*n+4)) = 3/5 - последовательность ограниченная и стремится к числу 3/5

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра