Докажите что не существует нечётного числа, которое при делении на 4 даёт в остатке 2

Вообще, это Аксиома, но если и доказывать то так: т.к. 4 это чётное число, а делить мы будем не чётное, то остаток всегда будет либо 1, либо 3.
Т.е. выходит что если делим нечётное число на чётное, то остаток всегда будет, нечётным.