Докажите, что квадрат любого натурального числа, увеличенный на 1, не делится на 3.

Из свойств Квадрата натурального числа А 
              либо делится на 3         -остаток 0,
             либо не делится и дает -остаток 1.
(А²+1)/3  В первом случе даст остаток-1
               во втором даст остаток-2.
И в первом и втором случае не делится на 3 нацело.

PS . Доказательства Свойства квадрата 
1)Если число А кратно 3, значит
          А = 3К, тогда А²= (3К) = 9К²   делится на 3 нацело-остаок 0.
2)Если же число а не кратно 3 то его можно представить двумя
          а)   А= 3К -1,    тогда А²= (3К-1)²=9К²-6К+1=3(3К²-2К)+1
              и при делении на 3 даст - остаток 1.
 либо б)   А= 3К +1,    тогда А²= (3К+1)²=9К²+6К+1=3(3К²+2К)+1
              и при делении на 3 даст - остаток 1.