Алгебра: Докажите, что {х│х=4n-1,n-целое число}={х│х=4m+3,m-целое число}.

Множество целых чисел:Т.е. все отрицательные и натуральные числа.Множества называются равными если: и Пусть:Так как То:Т.е. либо n зависит от m:Либо m от n:Теперь, если то,значит, есть такой элемент так что .Т.е. выполняется:Значит:Но мы знаем что для каждого n и m выполняется n=m+1. Значит противоречие и наше предположение о том что А не является подмножеством В не верно.Т.е. Теперь, если предположить что , то значит есть такой элемент так что: Т.е. выполняется:Значит :Но этого не может быть....

Докажите, что {х│х=4n-1,n-целое число}={х│х=4m+3,m-целое число}.

Ответы

СергейРовкин 29.09.2020 10:34

Множество целых чисел:
$\mathbb Z=\{...-1,0,1...\}$
Т.е. все отрицательные и натуральные числа.

Множества называются равными если:
$A \subseteq B$ и $B\subseteq A$

Пусть:
$A=\{x|x=4n-1,n\in \mathbb Z\}$
$B=\{x|x=4m+3,m\in \mathbb Z\}$

Так как x=x

То:

Т.е. либо n зависит от m:
n= m+1

Либо m от n:
m=n-1

Теперь, если $A\nsubseteq B$ то,значит, есть такой элемент $a\in A$ так что $a\notin B$ .
Т.е. выполняется:
$a=4n-1 \Rightarrow n= \frac{a+1}{4}$
Значит:
$\frac{a+1}{4} \neq m+1$

Но мы знаем что для каждого n и m выполняется n=m+1. Значит противоречие и наше предположение о том что А не является подмножеством В не верно.
Т.е.
$A\subseteq B$

Теперь, если предположить что $B\nsubseteq A$ , то значит есть такой элемент $b\in B$ так что: $b\notin A$

Т.е. выполняется:
$b=4m+3 \Rightarrow m= \frac{b-3}{4}$

Значит :
$\frac{b-3}{4} \neq 4n-1$

Но этого не может быть. Значит противоречие.
$B\subseteq A$

Отсюда следует:
A=B