Докажите что дробь ни при каких значениях переменной не принимает отрицательных значений

т.к. 5>0, то требуется доказать, что x^2-x+1>0

это кв. парабола ветви которой направлены вверх. Достаточно доказать, что x^2-x+1≠0

Решаем кв. уравнение: D=1-4=-3 уравнение решений не имеет, ветви параболы не пересекаются с осью Х, значение

x^2-x+1 всегда положительное

Любое отрицательное число в чётной степени будет положительным.

Минус, умноженный на минус, даёт знак "плюс" . 

Рассмотрим детально знаменатель предложенной дроби:

x² - x + 1 = 0

Это - квадратное уравнение. Дискриминантом оно не решается, т.к. уже визуально можно определить, что дискриминант меньше ноля, а это значит, что решений нет. Тогда просто подставим 0, -2 и 2 в уравнение:

0² - 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1

(-2)² - (-2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7

2² - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3

Хоть какое число подставить вместо "икс" - результат будет положителен, просто потому, что степень чётная и перед второй переменной стоит знак "минус". Получается три варианта:

1. Если подставить вместо "икс" отрицательное число - в знаменателе будет операция "сумма". И суммироваться будут все положительные числа, так как минус на минус = плюс.)

2. Если подставить вместо "икс" положительное число - в знаменателе будет операция "разность" между переменными. Но первая у нас имеет степень, к тому же чётную, а значит, что число, из которого вычитается второе, будет больше, чем второе. Следовательно, результат всё равно будет положительным.

3. Третий вариант - это если вместо переменной подставить 0 или 1. Но даже в этом случае знаменатель окажется положительным, потому что 3-й член уравнения со знаком "плюс". А переменные уйдут, т.к. 0² и 1² равны самим себе, и между переменными стоит знак "минус".

*1.

(-2)² = +4 

4 - (-2) = 4 + 2 = +6

*2.

2² = +4

2² - 2 = 4 - 2 = +2

*3.

0² - 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = +1

1² - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 0 + 1 = +1