Докажите , что для любого натурального n : (7^n+1+8^2n-1) нацело делится на 19.

Если ваше условие такое: 7^(n+1) + 8^(2n-1) то решение такое:
1.N=1 7^2+8=57, 57/19=3 - верно
2. Предположим что n=k, 7^(k+1) + 8^(2k-1) кратно 19, тогда докажем тоже для n=k+1
7^(k+2)+8^(2k+1)=
7*7^(k+1)+64*8^(2k-1)=
7*7^(k+1)+7*8^(2k-1)+57*8^(2k-1)=
7*(7^(k+1)+8^(2k-1))+57*8^(2k-1)
Произведение нат. чисел кратно какому-либо числу если 1 из его множителей кратен этому числу, первое слагаемое делится на 19 по предположению вначале пункта 2, а второе слагаемое кратно 19, т.к. 57 кратно 19
Доказано.