Докажите, что для любого натурального числа n хотя бы одно из чисел n^3+n или n^3-n делится на 10

Объяснение:

1) n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)

Это произведение трех последовательных чисел.

Хотя бы одно из этих чисел четное. Если какое-то из чисел делится на 5, то произведение делится на 10.

2) Пусть ни одно из чисел n-1, n, n+1 не делится на 5. Тогда n при делении на 5 может давать остаток 2 или 3, то есть n = 5k+2 или n = 5k+3.

Разложим n^3 + n = n(n^2 + 1)

Найдем n^2 + 1 для обоих этих случаев.

a) n = 5k + 2

n^2 + 1 = (5k+2)^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 4 + 1 = 25k^2 + 20k + 5

b) n = 5k + 3

n^2 + 1 = (5k+3)^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 9 + 1 = 25k^2 + 30k + 10

В обоих случаях число n^2 + 1 делится на 5.

При этом заметим, что если n четное, то произведение n(n^2 + 1) делится на 10, а если n нечетное, то n^2 + 1 четное, и при этом оно же делится на 5, то есть оно делится на 10.

3) Таким образом, мы доказали, что либо n^3 - n = n(n-1)(n+1),

либо n^3 + n = n(n^2 + 1) делится на 10.