Докажите, что для любого числа b> = -1 и любого натурального числа n справедливо неравенство (1+b)^n> =1+nb

Это     знаменитое неравенство Бернули.
Как  вариант оно  доказывается методом мат   индукции.(для  натуральных n)
1)Для  n=1
1+b>=1+b (верно тк   наблюдается равенство)
2)Положим   верность утверждения для n=k
(1+b)^k>=1+kb
3) Докажем его справедливость   для n=k+1
(1+b)^k+1>=1+b(k+1).
ИМеем
(1+b)^k>=1+kb
тк   b>=-1  то  1+b>=0 что   позволяет   умножать обе части неравенства  на  1+b без страха изменения знака неравенства.
(1+b)^k+1>=(1+bk)(1+b)=1+b+bk+b^2*k=1+b(k+1)+b^2*k 
тк b^2*k>=0 то    1+b(k+1)<=  1+b(k+1)+b^2*k  то   раз справедиво неравенство
(1+b)^k+1>=1+b(k+1)+b^2*k
ТО и верно  неравенство:
(1+b)^k+1>=1+b(k+1)
.    ТО   в силу принципа математической индукции   неравенство является верным.  
Чтд.