Доказать sina*sin2a*sin3a<3/4

Объяснение:

sina·sin2a·sin3a<3/4

-1≤sinx≤1

sina·sin3a=0,5(cos(3a-a)-cos(3a+a))=0,5(cos2a-cos4a)

cos4asin2a=0,5(sin(4a+2a)-sin(4a-2a))=0,5(sin6a-sin2a)

cos2asin2a=0,5·2cos2asin2a=0,5sin4a

sina·sin2a·sin3a=sin2a·(sina·sin3a)=0,5(cos2a-cos4a)sin2a=

=0,5(cos2asin2a-cos4asin2a)=0,5(0,5sin4a-0,5(sin6a-sin2a))=

=0,25(sin4a-sin6a+sin2a)≤0,25(1+1+1)=3/4

Равенство в последнем неравенстве достигается, тогда и только тогда, когда выполняются одновременно три следующих равенства

sin4a=1; sin6a=-1; sin2a=1

Пусть sin2a=1⇒1=sin4a=2sin2acos2a=2cos2a⇒cos2a=0,5

sin²2a+cos²2a=1²+0,5²=1,25>1 , что невозможно.

Из этого следует, что доказанное неравенство строгое. Т.е.

sina·sin2a·sin3a<3/4.

Ч.т.д