Доказать неравенство а²+b²+1≥a+b+ab. , нужно

Тамик03 Тамик03    1   29.05.2019 18:40    0

Ответы
gleb101pro gleb101pro  01.10.2020 14:22
Сделаем замену 
a+b=x\\
ab=y
тогда наше выражение перепишется в виде    
x^2-2y+1 \geq x+y
преобразуем 
x^2+1 \geq x+3y
добавим к обеим частям по 2x и заметим что 
 (x+1)^2 \geq 3(x+y)
подставим все  и получим 
(a+b+1)^2 \geq 3(a+b+ab)
теперь откроем скобки 
a^2+b^2+2ab+2b+2a+1 \geq 3a+3b+3ab \\

перенесем все в левую часть 
a^2+b^2-a-b-ab+1 \geq 0 
Вспомним что 
a^2+b^2 \geq 2ab\\
ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} подставим 
a^2+b^2-a-b-\frac{a^2+b^2}{2} + 1 \geq 0\\
2a^2+2b^2-2a-2b-a^2-b^2+2 \geq 0\\
a^2+b^2-2a-2b+2 \geq 0\\
(a-1)^2+(b-1)^2 \geq 0
то есть квадраты никогда не могут быть отрицательными чтд ! 
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра