Алгебра: Доказать что при n≥1 число n^3+3n^2+5n делится на 3

Чуток иначе через те же остатки:(используем свойство квадрат числа при делении на 3 дает остатки 0,1 , причем остаток 0 тогда и только тогда когда число кратное 3 - ну и остальные свойства суммы и произведения остатков)так как делится на 3, нужно показать еще что делится на 3если n делится на 3 то произведение делится на 3 и исходное выражение делится нацело на 3,если n нацело не делится, то при делении на 3 дает остаток 1, а значит дает остаток при делении на 3 - 0, а значит делится нацелотаким...

Доказать что при n≥1 число n^3+3n^2+5n делится на 3

Ответы

Olrg3007 08.07.2020 01:46

Чуток иначе через те же остатки:
(используем свойство квадрат числа при делении на 3 дает остатки 0,1 , причем остаток 0 тогда и только тогда когда число кратное 3 - ну и остальные свойства суммы и произведения остатков)
так как 3n^2

делится на 3, нужно показать еще что n^3+5n

делится на 3

n^3+5n=n(n^2+5n)

если n делится на 3 то произведение делится на 3 и исходное выражение делится нацело на 3,
если n нацело не делится, то n^2

при делении на 3 дает остаток 1, а значит n^2+5

дает остаток при делении на 3 - 0, а значит делится нацело
таким образом либо n либо n^2+5

делится нацело на 3, произведение делится на 3, и исходное выражение делится нацело на 3
Доказано.

второй Методом математической индукции
База индукции
n=1

;

выполняется при n=1

Гипотеза индукции. Пусть утверждение верно при n=k

т.е.

делится нацело на 3.
Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение верно при n=k+1

$n^3+3n^2+5n=(k+1)^3+3(k+1)^2+5(k+1)=\\\\k^3+3k^2+3k+1+3k^2+6k+3+5k+5=(k^3+3k^2+5k)+3(3k+k^2+2)$ а значит кратное 3 (выражение в первой скобке кратное 3 в силу допущения, во второй один из множителей а именно множитель 3 кратный 3)
Методом математической индукции доказано

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Алгебра