Доказать, что 4 в 40 степени минус 1 делиться нацело на 5.

Число 6 интересно тем, что, сколько его ни умножай само на себя, оно всегда дает в конце числа само себя: 6*6 = 36, 36*6 = 216 и т.д. Последней цифрой числа  будет 6.

И если от числа 6 отнять 1, то последней цифрой числа  ,будет 6 - 1 = 5.

На 5 делятся те и только те числа, которые заканчиваются цифрами 5 или 0. В нашем случае число заканчивается на 5, следовательно, в соответствии с приведенным признаком делимости, будет делиться на 5.

(4^40 -1) /5 =(4^20 -1)(4^20 +1) /5 =

=(4^10 -1)(4^10 +1)(4^20 +1) /5 =

=(4^5 -1)(4^5+1)(4^10+1)(4^20+1) /5 =

(4^5+1) делится на 5 =205

если хотя бы один из множителей делится на 5, то и все выражение делится нацело на 5