Добрые люди , найти условный экстремум функции

Объяснение:

z = xy, при условии 1/x + 1/y = 4

Выразим y через x:

1/y = 4 - 1/x = (4x - 1)/x

y = x/(4x - 1)

z = xy = x^2/(4x - 1)

Область определения z: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ 1/4

Находим производную теперь уже функции одной переменной.

z ' = [2x(4x - 1) - x^2*4] / (4x-1)^2 = (8x^2 - 2x - 4x^2) / (4x-1)^2 = (4x^2 - 2x)/(4x-1)^2

В точке экстремума производная, то есть ее числитель, равна 0.

4x^2 - 2x = 0

2x(2x - 1) = 0

Так как x ≠ 0, то:

2x - 1 = 0

x = 1/2; y = x/(4x - 1) = (1/2) / (4/2 - 1) = 1/2

z = xy = (1/2)*(1/2) = 1/4.

В точке x = 1 > 1/2 будет z ' = (4 - 2)/(4 - 1)^2 = 2/3^2 = 2/9 > 0

Значит, при x > 1/2 функция растет.

В точке x = 1/3 < 1/2 будет z ' = (4/9 - 2/3) / (4/3 - 1)^2 = (-2/9) / (1/3)^2 = -2 < 0

Значит, при x < 1/2 функция падает.

Точка (1/2; 1/2; 1/4) - точка минимума.