Для функции f(x) = 2 + 4x – 3x^2 найдите первообразную, график которой
проходит через точку А(2; 4).

Для нахождения первообразной функции необходимо применить метод интегрирования. Для начала, проанализируем функцию f(x) = 2 + 4x – 3x^2.

Шаг 1: Найдем первообразную (интеграл) для каждого слагаемого функции f(x).

Первое слагаемое 2 имеет постоянную функцию первообразной, так как производная константы равна нулю. Таким образом, первообразная для 2 будет равна 2x.

Второе слагаемое 4x имеет линейную функцию первообразной. Согласно правилу интегрирования линейных функций, первообразная для 4x будет равна 2x^2.

Третье слагаемое -3x^2 имеет квадратичную функцию первообразной. Воспользуемся правилом интегрирования квадратичных функций, получив первообразную для -3x^2. Правило интегрирования квадратных функций гласит, что функция первообразная для x^n будет иметь вид (1/(n+1))x^(n+1). Применяя это правило, получаем первообразную функцию первообразной для -3x^2, которая будет равна x^3.

Шаг 2: Добавим все найденные первообразные вместе, чтобы получить общую первообразную.

Функция первообразная для функции f(x) = 2 + 4x – 3x^2 будет равна:
F(x) = 2x + 2x^2 + x^3 + C,

где C - произвольная постоянная, так как мы не знаем точное значение точки A(2; 4).

Шаг 3: Найдем значение постоянной C, чтобы график первообразной функции проходил через точку A(2; 4).

Подставим значения координат точки A(2; 4) в уравнение функции первообразной F(x):
4 = 2*2 + 2*2^2 + 2^3 + C.

Вычислив данное выражение, получим:
4 = 4 + 8 + 8 + C.
4 = 20 + C.

Для того, чтобы найти значение C, вычтем 20 из обеих частей уравнения:
C = 4 - 20
C = -16.

Шаг 4: Подставим значение постоянной C в функцию первообразную, чтобы получить окончательный ответ.

Функция первообразная для f(x) = 2 + 4x – 3x^2 с графиком, проходящим через точку A(2; 4) будет равна:
F(x) = 2x + 2x^2 + x^3 - 16.