Дедлайн через 17 минут
при каких значениях b и c прямые y=6x и y=-5x являются касательными к графику функции f(x)=x^2+bx+c?

Производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции.

y’ = 2x + b.

Приравняем производную заданным значениям угловых коэффициентов касательных:

2x₁ + b = 6, отсюда b = 6 - 2x₁.

Для другой касательной 2x₂ + b = -5, тогда b = -5 - 2x₂.

Приравняем ординаты параболы и касательной:

6x₁ = x₁2 + bx₁ + c  или   x₁2 + (b – 6)x₁ + c = 0.  

Для другой касательной -5x₂ = x₂2 + bx₂ + c  или   x₂2 + (b + 5)x₂ + c = 0.  

Подставим значение b в каждое уравнение.

x₁² + (6 – 2x₁ – 6)x₁ + c = 0   или x₁² - 2x₁² + c = 0, отсюда с = x₁².

Во второе: x₂² + (-5 – 2x₂ + 5)x₂ + c = 0   или  x₂² - 2x₂² + c = 0, отсюда с = x₂².

То есть x₁² = x₂².  

Так как по свойству параболы касательные с разными знаками угловых коэффициентов могут быть только к разным веткам параболы, то есть абсциссы точек касания имеют разные знаки.

Тогда x₁ = -x₂.

Подставим эти значения в выражения для b: b = 6 - 2x₁ и b = -5 - 2x₂:

b = 6 - 2x₁              b = 6 - 2x₁  

b = -5 – 2(-x₁)      b = -5 + 2x₁.   Сложив эти уравнения, получаем 2b = 1, откуда b = ½ = 0,5.

Теперь можно определить координаты точек касания из выражения 2x₁ + b = 6.

x₁ = (6 - b)/2 = (6 – 0.5)/2 = 2,75.

Тогда x₂  = -2,75.

Осталось найти коэффициент с.

Его значение определим из выражения 6x₁ = x₁² + bx₁ + c.

с = 6x₁ - x₁² - bx₁ = 6*2,75 – 2,75² – 0,5*2,75 = 7,5625.

ответ: уравнение параболы у = х² + 0,5х + 7,5625.