Дать чёткое определение матрицы перехода желательно без непонятных символов (линейная алгебра).

Думаю, что понятия линейного пространства, линейной зависимости и независимости, базиса объяснять не надо.

Пусть есть два базиса, и

Чтобы получить матрицу перехода от первого базиса ко второму базису, нужно векторы второго базиса разложить по векторам первого базиса, и коэффициенты разложений записать по столбцам.