даны координаты вершин пирамида abcd

найдите:

1. объём пирамиды

2. площадь грани abd

3. уголь между рёбрами ac и ad

4. уравнение плоскости bca

5. уравнение ребра ab

6. угол между плоскостью bca и и прямой ad

Так как решения для разных вариантов аналогичны, то даём ответ на вариант 1.

Даны вершины пирамиды:

А(1; 3; 6), В(2; 2; 1), С(-1; 0; 1) и Д(-4; 6; 3).

Находим векторы из вершины А.

АВ(1; -1; -5),  АС(-2; -3; -5),  АД(-5; 3; -9).

1) Векторное произведение АВ х АС =

х      у      z       x       y                         5x + 10y - 3z  + 5y -15x - 2z =

1     -1       -5       1       -1                       =   -10x + 15y - 5x.

-2    -3      -5      -2      -3                      АВ х АС = (-10; 15; -5).

Скалярное произведение (АВ х АС) * АД =   50 + 45 + 45 = 140.

Объём равен (1/6)*140 = 70/3.

2) 1) Векторное произведение АВ х АД =

х      у      z       x       y                    9x + 25y + 3z + 9y + 15x - 5z =

1      -1      -5      1       -1                   = 24x + 34y - 2z.

-5     3      -9     -5       3                  АВ х АД = (24; 34; -2).

Модуль произведения равен √(576 + 1156 + 4) =√1736 = 2√434.

Площадь грани АВД = (1/2)*2√434 = √434 ≈ 20,83267.

3) cos(AC_AD) = (-2*-5 + -3*3 6 + -5*-9)/(√38*√115) = 46/√4370 =

                        = 0,695852.

Угол (AC_AD) = arc cos (46/√4370) = 45,90482°.

4) Уравнение плоскости АВС по трём точкам можно определить так:

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.

Тогда уравнение определяется из этого выражения:              (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, после приведения подобных и сокращения, получим: АВС: 2x - 3y +z + 1 = 0.

5) Уравнение АВ: (x - 1)/1 = (y - 3)/-1 = (z - 6)/-5.

6)  Угол между прямой AD и плоскостью АВС:

Направляющий вектор прямой имеет вид:  l m n Скалярное произведение 125    

s = {l; m; n}  -5 2 -9 Модуль =√110 = 10,48808848.  

Вектор нормали плоскости имеет вид:     A B C  

  Ax + By + Cz + D = 0  -10 15 -5

Модуль равен 18,70828693

    100 225 25 350

sin fi = 0,637058989  

fi = 0,690676766 радиан  =  39,57286369 градус