Дано уравнение (х-а)(х^2-6х+8)=0. найдите значения а , при которых уравнение имеет три разных корня , и они образуют арифметическую прогрессию.
​

Для решения данной задачи, нам потребуется найти значения а, при которых уравнение имеет три разных корня, и эти корни образуют арифметическую прогрессию.

Для начала, давайте разложим уравнение на множители:
(х-а)(х^2-6х+8)=0

Раскрывая скобки, получим:
x^3 - (6 + a)x^2 + (8a + 6)x - 8а = 0

Обратите внимание, что если у нас есть арифметическая прогрессия, то сумма соседних ее членов всегда одинакова.

Полученное уравнение имеет кубическую структуру, где коэффициенты при x^2 и x образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что сумма последовательных коэффициентов будет равна одной и той же величине.

Сумма коэффициентов x^2 и x равна:
(6 + a) + (8a + 6)

Поскольку эти коэффициенты образуют арифметическую прогрессию, у нас имеется:

(8a + 6) - (6 + a) = (6 + a) - (8a + 6)

Упрощая выражения и собирая слагаемые, получим:
8a + 6 - 6 - a = 6 + a - 8a - 6

Удалим скобки и соберем все слагаемые в одно выражение:
7a = -2a

Теперь решим полученное уравнение:
7a + 2a = 0

Складываем переменные и получаем:
9a = 0

Для того чтобы найти значение a, поделим обе части уравнения на 9:
a = 0

Таким образом, уравнение (х-а)(х^2-6х+8)=0 будет иметь три разных корня и арифметическую прогрессию при значении а = 0.

Для проверки, заменим а на 0 в исходном уравнении:
(х-0)(х^2-6х+8)=0

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:
x(x^2-6x+8)=0

Далее, факторизуем квадратное уравнение:
(x-2)(x-4)=0

Приравниваем каждый множитель к нулю и находим значения корней:
x-2 = 0 => x = 2
x-4 = 0 => x = 4

Таким образом, уравнение (х-а)(х^2-6х+8)=0 имеет три различных корня, равных 0, 2 и 4, которые образуют арифметическую прогрессию при a = 0.

Итак, решив уравнение (х-а)(х^2-6х+8)=0 и найдя значения корней, мы установили, что чтобы уравнение имело три различных корня, образующих арифметическую прогрессию, нужно взять a = 0.