Дано уравнение:
2x²+3x+√(2х²+3x+9)=33
а) Используя метод замены переменной, приведите данное уравнение к виду:

t²+t-42=0.

b) Покажите, что решением уравнения есть корни: x1=-4,5 и x2=3

Для решения данного уравнения сначала проведем метод замены переменной. Предлагается обозначить √(2х²+3x+9) как t и записать уравнение в новых обозначениях:

2x² + 3x + t = 33.

Теперь у нас есть уравнение: 2x² + 3x + t = 33.

а) Чтобы привести данное уравнение к виду t² + t - 42 = 0, нам нужно продолжить выражение t² + t - 42 = 0, используя исходное уравнение.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

(2x² + 3x + t)² = (33)².

Раскроем скобки:

4x^4 + 12x³ + 4tx² + 9x² + 6xt + 9t + t² = 1089.

Теперь перенесем все члены к одной стороне уравнения:

4x^4 + 12x³ + (13 + 4t)x² + (6t) x + (9t + t² - 1089) = 0.

Теперь мы должны заметить, что коэффициенты при x в исходном уравнении и приведенном уравнении должны быть одинаковыми. Значит, коэффициенты x² и x в приведенном уравнении должны быть равны коэффициентам x² и x в исходном уравнении.

Сравнивая эти два уравнения, мы получаем:

(13 + 4t)x² = 9x²,

(6t) x = 3x,

(9t + t² - 1089) = 0.

Отсюда следует, что:

13 + 4t = 9,

6t = 3,

9t + t² - 1089 = 0.

Решим первые два уравнения:

13 + 4t = 9,

4t = 9 - 13,

4t = -4,

t = -1.

6t = 3,

t = 3 / 6,

t = 1 / 2.

Таким образом, мы нашли два возможных значения переменной t.

b) Теперь мы должны показать, что решением уравнения Дано уравнение: 2x² + 3x + √(2х² + 3x + 9) = 33 являются корни x₁ = -4.5 и x₂ = 3.

Подставим первый корень в исходное уравнение:

2(-4.5)² + 3(-4.5) + √(2(-4.5)² + 3(-4.5) + 9) = 33.

Упростим это выражение:

2(20.25) - 13.5 + √(2(20.25) - 13.5 + 9) = 33.

40.5 - 13.5 + √(40.5 - 13.5 + 9) = 33.

67.5 - 13.5 + √(67.5 - 13.5 + 9) = 33.

54 + 3 = 33.

57 = 33,

что является неверным уравнением.

Подставим второй корень:

2(3)² + 3(3) + √(2(3)² + 3(3) + 9) = 33.

2(9) + 9 + √(2(9) + 9 + 9) = 33.

18 + 9 + √(18 + 9 + 9) = 33.

27 + 3 = 33.

30 = 33,

что также является неверным уравнением.

Таким образом, ни одно из найденных значений x₁ = -4.5 и x₂ = 3 не является решением исходного уравнения 2x² + 3x + √(2х² + 3x + 9) = 33.