Дана последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, ... , 2019. Разрешается зачерки-
вать любые два числа и записывать вместо них
их разность. Доказать, что если в конце остался
один нуль, то где-то была допущена ошибка.​

Разобьем эти числа следующим образом:

(1, 2, 3), (4, 5, 6, 7), (8, 9, 10, 11), ..., (2016, 2017, 2018, 2019).

С первой тройкой поступим так:

Вместо чисел 3 и 2 запишем их разность: 3-2=1.

Получили числа 1 и 1, вместо которых запишем их разность: 1-1=0.

С четверками поступим следующим образом: будем заменять разностью сначала первые два числа, затем другие два числа, а затем и образовавшиеся в результате замен числа. На примере последней четверки:

Вместо чисел 2019 и 2018 запишем их разность: 2019-2018=1, также вместо чисел 2017 и 2016 запишем их разность: 2017-2016=1.

Получили числа 1 и 1, вместо которых запишем их разность: 1-1=0.

Таким образом, у нас образовалось некоторое количество нулей. С замен вида 0-0=0 в конечном счете мы можем получить один ноль.

Доказано, что один ноль может остаться.