Дана функция f(x)=4/√x−1/x^6.

 

Общий вид первообразных функции — это 

​

Объяснение:

первообразных

Дана функция f(x) = 4/√x - 1/x^6, и мы хотим найти ее первообразную функцию.

Первообразная функция функции f(x) обозначается как F(x). Она является обратной операцией к дифференцированию. В нашем случае, мы будем искать F(x), такую, что F'(x) = f(x).

Для нахождения первообразной функции f(x), мы воспользуемся правилами интегрирования.

Первым шагом будет разложение функции f(x) на две функции.

f(x) = 4/√x - 1/x^6

Мы можем разложить функцию на сумму двух функций:

f(x) = 4 * x^(-1/2) - x^(-6)

Теперь мы можем интегрировать каждую из этих функций по отдельности.

Для первой функции, интегрируем 4 * x^(-1/2):

∫(4 * x^(-1/2)) dx

Для этого воспользуемся правилом степени:

∫(4 * x^(-1/2)) dx = 4 ∫x^(-1/2) dx

Затем применяем формулу интегрирования степенной функции:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1), если n ≠ -1

В нашем случае, n = -1/2, поэтому:

∫(4 * x^(-1/2)) dx = 4 * ∫x^(-1/2) dx = 4 * (x^(1/2))/(1/2) + C

Упрощаем:

4 * ∫x^(-1/2) dx = 4 * (2/sqrt(x)) + C

= 8/sqrt(x) + C1

где С1 - произвольная постоянная.

Теперь интегрируем вторую функцию -1/x^6:

∫(-1/x^6) dx

Воспользуемся формулой интегрирования степенной функции с отрицательной степенью:

∫(x^n) dx = -1/(n+1) * x^(n+1), если n ≠ -1

В нашем случае, n = -6, поэтому:

∫(-1/x^6) dx = -1/(-6+1) * x^(-6+1) + C

Упрощаем:

∫(-1/x^6) dx = 1/5 * x^(-5) + C

Теперь мы можем собрать оба интеграла вместе:

F(x) = 8/sqrt(x) + 1/5 * x^(-5) + C2

где C2 - произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразных функций для f(x) = 4/√x - 1/x^6 будет:

F(x) = 8/sqrt(x) + 1/5 * x^(-5) + C

где C - произвольная постоянная.