Число x таково, что log2(log4x) + log4(log8x) + log8(log2x) = 1.найдите значение выражения log4(log2x)+log8(log4x)+log2(log8x) .если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01
Нам дано уравнение:
log2(log4x) + log4(log8x) + log8(log2x) = 1
Для того, чтобы найти значение выражения:
log4(log2x) + log8(log4x) + log2(log8x)
давайте представим каждый из трех логарифмов в виде основания степени. То есть, заменим каждый логарифм на степень, в которую он возведет основание, чтобы получить исходное число.
Заменим log2(log4x) на 2^(log4x), log4(log8x) на 4^(log8x), и log8(log2x) на 8^(log2x). Таким образом, получим:
2^(log4x) + 4^(log8x) + 8^(log2x) = 1
Далее, давайте заменим основание каждого из трех степеней на общий множитель, который равен степени основания возведенной в степень 2. То есть, заменим 4 на (2^2), 8 на (2^3), и 2 на (2^1).
Получим:
2^(2*log2x) + (2^2)^(log8x) + (2^3)^(log2x) = 1
Теперь раскроем степени:
2^(2*log2x) + (2^(2*log8x)) + (2^(3*log2x)) = 1
Заметим, что 2^2 = 4, и 2^3 = 8:
4^(log2x) + 4^(2*log8x) + 8^(log2x) = 1
Теперь, применим свойство степеней с одинаковым основанием, которое гласит:
a^(b+c) = a^b * a^c
Применим это свойство:
(2^2)^(log2x) * 4^(log8x) + 8^(log2x) = 1
4^(log2x) * 4^(log8x) + 8^(log2x) = 1
Теперь заменим 4 на 2^2:
(2^2)^(log2x) * (2^2)^(2*log8x) + 8^(log2x) = 1
2^(2*log2x) * 2^(4*log8x) + 8^(log2x) = 1
2^(2*log2x + 4*log8x) + 8^(log2x) = 1
Теперь заменим 8 на 2^3:
2^(2*log2x + 4*log8x) + (2^3)^(log2x) = 1
2^(2*log2x + 4*log8x) + 2^(3*log2x) = 1
Применим свойство суммы степеней с одинаковым основанием:
Нам дано уравнение:
log2(log4x) + log4(log8x) + log8(log2x) = 1
Для того, чтобы найти значение выражения:
log4(log2x) + log8(log4x) + log2(log8x)
давайте представим каждый из трех логарифмов в виде основания степени. То есть, заменим каждый логарифм на степень, в которую он возведет основание, чтобы получить исходное число.
Заменим log2(log4x) на 2^(log4x), log4(log8x) на 4^(log8x), и log8(log2x) на 8^(log2x). Таким образом, получим:
2^(log4x) + 4^(log8x) + 8^(log2x) = 1
Далее, давайте заменим основание каждого из трех степеней на общий множитель, который равен степени основания возведенной в степень 2. То есть, заменим 4 на (2^2), 8 на (2^3), и 2 на (2^1).
Получим:
2^(2*log2x) + (2^2)^(log8x) + (2^3)^(log2x) = 1
Теперь раскроем степени:
2^(2*log2x) + (2^(2*log8x)) + (2^(3*log2x)) = 1
Заметим, что 2^2 = 4, и 2^3 = 8:
4^(log2x) + 4^(2*log8x) + 8^(log2x) = 1
Теперь, применим свойство степеней с одинаковым основанием, которое гласит:
a^(b+c) = a^b * a^c
Применим это свойство:
(2^2)^(log2x) * 4^(log8x) + 8^(log2x) = 1
4^(log2x) * 4^(log8x) + 8^(log2x) = 1
Теперь заменим 4 на 2^2:
(2^2)^(log2x) * (2^2)^(2*log8x) + 8^(log2x) = 1
2^(2*log2x) * 2^(4*log8x) + 8^(log2x) = 1
2^(2*log2x + 4*log8x) + 8^(log2x) = 1
Теперь заменим 8 на 2^3:
2^(2*log2x + 4*log8x) + (2^3)^(log2x) = 1
2^(2*log2x + 4*log8x) + 2^(3*log2x) = 1
Применим свойство суммы степеней с одинаковым основанием:
2^(2*log2x + 3*log2x) + 2^(4*log8x) = 1
2^(5*log2x) + 2^(4*log8x) = 1
Применим свойство степени внутри степени:
2^(log2x * 5) + 2^(log8x * 4) = 1
2^(5*log2x) + 2^(4*log8x) = 1
Применим свойство степени:
2^(log2x) * 2^(log2x) * 2^(log2x) * 2^(log2x) * 2^(log2x) + 2^(log8x) * 2^(log8x) * 2^(log8x) * 2^(log8x) = 1
(2^log2x)^5 + (2^log8x)^4 = 1
2^5 * 2^(log2x) + 2^4 * 2^(log8x) = 1
32 * 2^(log2x) + 16 * 2^(log8x) = 1
Заметим, что 2^(log2x) = x и 2^(log8x) = 8x:
32 * x + 16 * 8x = 1
32x + 128x = 1
160x = 1
x = 1/160
Таким образом, значение выражения log4(log2x) + log8(log4x) + log2(log8x) равно:
log4(log2(1/160)) + log8(log4(1/160)) + log2(log8(1/160)) =
А чтобы округлить ответ с точностью до 0,01,
необходимо округлить до двух десятичных знаков. В данном случае, ответ будет равен 0,01.