Чи може квадратне рівняння аx^{2}+bx+c=0 з цілими коефіціентами мати дискрімінант рівний 23

Нет.

b^2 - 4ac должно быть равно 23.
Рассмотрим остатки от деления левой и правой части на 4.
 
Слева -4ac делится на 4, поэтому остаток такой же, что и у b^2. Известно, что квадраты дают остатки 0 или 1 при делении на 4.

Справа: 23 при делении на 4 даёт остаток 3.

Так как при любых целых значениях a, b, c остатки от деления на 4 у левой и правой части не совпадут, то ни при каких целых значениях коэффициентов дискриминант не может быть равен 23.