Четырехугольник abcd вписан в окружность, точка о - точка пересечения диагоналей ac и bd. известно, что s abo=4s bco, во=1, do=16. найти ас.

shabdanova16 shabdanova16    1   07.06.2019 02:50    1

Ответы
germannesta germannesta  06.07.2020 23:41
Обозначим угол BOC=a. Тогда угол  BOA=180-a
Площадь треугольника S_{AOB}=\frac{AO*1*cosa}{2}\\
S_{BOC}=\frac{OC*1*sina}{2}\\\\
S_{AOB}=4S_{BOC}\\
S_{ABC}=\frac{5OC*sina}{2}\\\\ 
S_{OCD}=8OCcosa\\
S_{AOD}=8AOsina\\
S_{CDA}=8OCcosa+8AOsina\\\\
S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina\\



но  с другой стороны площадь четырехугольника равна 
S_{ABCD}=(AO+OC)*8.5*sina 
Тогда  2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina=(AO+OC)*8.5*sina 
По свойству хорд  получаем 
AO*OC=16*1
выражая и подставляя в уравнение 
2.5*\frac{16}{AO}*sina+8*\frac{16}{AO}*cosa+8*AO*sina=(AO+\frac{16}{AO})*8.5*sina 
откуда получаем что 
 (AO^2+192)sina=256cosa\\
AO^2=256ctga-192\\

 но  по  условию S_{ABO}=4S_{BCO}\\
AO*OC=16\\\\
S_{ABO}=\frac{AO*cosa}{2}\\ 
S_{BOC}=\frac{OC*sina}{2}\\
\frac{AO*cosa}{OC*sina}=4\\
AO*cosa=4OC*sina\\ 
\frac{AO}{OC}=4tga\\
\frac{AO}{\frac{16}{AO}}=4tga\\
AO=8\sqrt{tga}\\\\

  Уравнение 
 256ctga-192=8\sqrt{tga}
  Откуда решение 
 x=\frac{\pi}{4}   второй не подходит 
 Откуда AO=8 \ \ OC=2\\\\
AC=8+2=10                 
    
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра