Арифметическая и прогрессия. 11 + 101 + 1001 + 10001 + = || n варианты ответа: а. б. в. г. д.

Замечаем, что
11 + 101 + 1001 + 10001 + ... + 100...001 =
= (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + (10000 + 1) + ... + (100...000 + 1) =
= (n + 1) + (10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100...000)

Количество единиц равно (n + 1). Это следует из простого соответствия количеству нулей в последнем числе. Если бы у нас был n=1, то и число единиц равно 1. Если n=2, то и число единиц равно двум. И т.д. В последнем числе за n взято количество нулей без учёта единицы в младшем разряде, которую мы отделили. Т.е. на месте этой единицы стоит ещё один нуль, а всего их (n+1). Значит, и единиц столько же суммируется.

Во второй скобке спряталась геометрическая прогрессия с b1=10 и q=10. Количество же членов этой прогрессии тоже равно (n+1).
Сумма геометрической прогрессии ищется по формуле:
       b1 * (1 - q^n)
S =
           1 - q
Подставляем наши значения, не забываем, что в нашем случае количество членов (которое в формуле фигурирует как n) равно (n+1)
       10 * (1 - 10^(n+1))      10 - 10^(n+2)
S = =
               1- 10                            -9

Добавляем сумму единиц:
                                    10 - 10^(n+2)      -9 * (n+1)
Сумма = S + (n+1) = + =
                                             -9                    -9
    10 - 10^(n+2) - 9n - 9     -10^(n+2) - 9n + 1     10^(n+2) + 9n - 1
= = =
                   -9                                  -9                              9

ответ: Б.