84

самостоятельная работа по теме:
«построение графика квадратичной функции»
1 вариант
1. найдите координаты вершины параболы.
а) у = -х2 - 4х + 5 б) у = 2 х2- 4х – 6 в) у = 0,5 х2 +3х +2,5 в) у = - х2 +2х.

2. постройте график квадратичной функции
а) у = х2 - 2х + 1 б) у = -2 х2+3х – 4 в) у = 2 х2 +х + 4 в) у = - х2 +3х.

3. постройте график квадратичной функции и опишите ее свойства:
у = ( 2 - х)( х + 6)

Здравствуйте! Давайте начнем по порядку.

1. Найдите координаты вершины параболы.
а) Функция у = -х^2 - 4х + 5 является квадратичной функцией вида у = ах^2 + bx + c, где а, b и с являются коэффициентами.
Для нахождения координат вершины, воспользуемся формулами: x = -b / (2a) и y = f(x), где f(x) это значение функции у в заданной точке.
В данном случае, а = -1, b = -4 и с = 5. Подставим значения в формулу:
x = -(-4) / (2*(-1)) = 4 / 2 = 2
y = -2^2 - 4*2 + 5 = -4 - 8 + 5 = -7
Таким образом, координаты вершины параболы у = -х^2 - 4х + 5 равны (2, -7).

б) Функция у = 2х^2 - 4х - 6 также является квадратичной функцией. По аналогии с предыдущим примером, найдем координаты вершины:
a = 2, b = -4, c = -6
x = -(-4) / (2*2) = 4 / 4 = 1
y = 2*1^2 - 4*1 - 6 = 2 - 4 - 6 = -8
Итак, координаты вершины параболы у = 2х^2 - 4х - 6 равны (1, -8).

в) Также находим координаты вершины параболы у = 0.5х^2 + 3х + 2.5:
a = 0.5, b = 3, c = 2.5
x = -3 / (2*0.5) = -3 / 1 = -3
y = 0.5*(-3)^2 + 3*(-3) + 2.5 = 0.5*9 - 9 + 2.5 = 4.5 - 9 + 2.5 = -2
Координаты вершины параболы у = 0.5х^2 + 3х + 2.5 равны (-3, -2).

г) Наконец, находим координаты вершины параболы у = -х^2 + 2х:
a = -1, b = 2, c = 0
x = -2 / (2*(-1)) = 2 / 2 = 1
y = -1*1^2 + 2*1 = -1 + 2 = 1
Получаем координаты вершины параболы у = -х^2 + 2х, которые равны (1, 1).

2. Построение графика квадратичной функции.
а) Уравнение у = х^2 - 2х + 1 относится к квадратичной функции вида у = ах^2 + bx + c. Найденные ранее координаты вершины составляют точку вершины параболы.
Построим график, используя эти данные. Сначала построим оси координат. Затем поставим точку вершины (1, 1).
Теперь найдем несколько дополнительных точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от вершины параболы.
Например, если мы возьмем значения x = 0 и x = 2, то получим следующие значения у:
При x = 0, у = 0^2 - 2*0 + 1 = 1
При x = 2, у = 2^2 - 2*2 + 1 = 1
Итак, у нас есть точки (0, 1) и (2, 1). Мы знаем, что эти точки должны лежать на параболе у = х^2 - 2х + 1.
Соединяем все точки и получаем график.

б) Построение графика квадратичной функции у = -2х^2 + 3х - 4 будет аналогичным. Найдем точку вершины параболы:
a = -2, b = 3, c = -4
x = -3 / (2*(-2)) = 3 / 4
y = -2*(3/4)^2 + 3*(3/4) - 4 = -2*(9/16) + 9/4 - 4 = (-9/8) + (9/4) - 4 = -9/8 + 18/8 - 4 = 9/8 - 4 = -23/8
Таким образом, координаты вершины параболы у = -2х^2 + 3х - 4 равны (3/4, -23/8). После нахождения вершины,
выбираем несколько точек вокруг вершины, чтобы построить график. Здесь также могут быть использованы точки, расположенные
на одинаковом расстоянии от вершины.

в) Для графика у = 2х^2 + х + 4 мы находим точку вершины параболы:
a = 2, b = 1, c = 4
x = -1 / (2*2) = -1 / 4
y = 2*(-1/4)^2 + (-1/4) + 4 = 2*(1/16) - 1/4 + 4 = 2/16 - 4/4 + 4 = 2/16 - 16/16 + 64/16 = 50/16 = 25/8
Координаты вершины параболы у = 2х^2 + х + 4 равны (-1/4, 25/8). Построим оси координат и отметим точку вершины.
Также выберем несколько точек вокруг вершины для построения графика.

г) И, наконец, найдем график у = -х^2 + 3х, который также требует построения осей координат и отметки вершины параболы:
a = -1, b = 3, c = 0
x = -3 / (2*(-1)) = 3 / 2
y = -1*(3/2)^2 + 3*(3/2) = -1*(9/4) + 9/2 = (-9/4) + (18/4) = 9/4
Координаты вершины параболы у = -х^2 + 3х равны (3/2, 9/4). Подбираем дополнительные точки для графика.

3. Построение графика у = (2 - х)(х + 6) и описание ее свойств.
Построим график для у = (2 - х)(х + 6) использовав ранее описанный процесс:
- найдем точку вершины параболы. Найдем значения х, при которых у = 0:
(2 - х)(х + 6) = 0
Таким образом, х = 2 и х = -6
- найдем координаты вершины параболы. Мы знаем, что вершина лежит на оси симметрии, которая является вертикальной прямой,
проходящей через середину отрезка, соединяющего эти две точки, х = 2 и х = -6.
Середина отрезка равна (-6 + 2) / 2 = -4 / 2 = -2
Подставим это значение в уравнение и найдем у:
у = (2 - (-2))( (-2) + 6) = (2 + 2) * (4) = 4 * 4 = 16
Итак, координаты вершины равны (-2, 16)
- построим дополнительные точки вокруг вершины, чтобы построить график
- соединим все точки и получим график.

Описание свойств графика:
- Вершина параболы находится в точке (-2, 16).
- График симметричен относительно вертикальной прямой, которая является осью симметрии.
- Функция имеет два действительных корня, т.е. значения х, при которых у = 0. В данном случае, корнями являются х = 2 и х = -6.
- Функция у = (2 - х)(х + 6) открывается вниз, так как коэффициент перед х^2 равен -1.
- График убывает при x < -2 и возрастает при x > -2.