6х^4-11х^3у-18х^2*у^2-11ху^3+6у^4=0

1) y = x/3; 2) y = 3x

Объяснение:

6x^4 - 11x^3*y - 18x^2*y^2 - 11xy^3 + 6y^4 = 0

Наша цель - свести уравнение к квадратному.

Сначала делим всё на y^4

6x^4/y^4 - 11x^3/y^3 - 18x^2/y^2 - 11x/y + 6 = 0

6(x/y)^4 - 11(x/y)^3 - 18(x/y)^2 - 11(x/y) + 6 = 0

Затем делаем замену x/y = a

6a^4 - 11a^3 - 18a^2 - 11a + 6 = 0

Теперь делим все на a^2

6a^2 - 11a - 18 - 11/a + 6/a^2 = 0

6(a^2 + 1/a^2) - 11(a + 1/a) - 18 = 0

А теперь опять делаем замену a + 1/a = t, тогда

t^2 = (a + 1/a)^2 = a^2 + 2a*(1/a) + (1/a)^2 = a^2 + 1/a^2 + 2

Отсюда a^2 + 1/a^2 = t^2 - 2

Надо заметить, что при любом a > 0 будет a + 1/a >= 2, и

при любом a < 0 будет a + 1/a <= -2.

Причем равенство будет при а = 1 и а = -1 соответственно.

6(t^2 - 2) - 11t - 18 = 0

6t^2 - 12 - 11t - 18 = 0

6t^2 - 11t - 30 = 0

Получили наконец-то квадратное уравнение

D = 11^2 - 4*6*(-30) = 121 + 720 = 841 = 29^2

t1 = a + 1/a = (11 - 29)/12 = -18/12 = -3/2 ∈ (-2; 0) - не подходит.

t2 = a + 1/a = (11 + 29)/12 = 40/12 = 10/3 = 3 + 1/3 > 2 - подходит, тогда

а1 = 3, а2 = 1/3

Делаем обратную замену

1) a1 = x/y = 3; y = x/3

2) a2 = x/y = 1/3; y = 3x