612. Установите, четной или нечетное является функция а)у=х*tg x:
б)у=2sin x- ctg x

Давайте решим оба варианта.

а) Функция у=х*tg x.

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить выполнение двух условий:

1) Функция должна быть четной, если выполняется условие f(-x) = f(x).
2) Функция должна быть нечетной, если выполняется условие f(-x) = -f(x).

Теперь проверим каждое условие в отдельности.

1) Проверяем условие f(-x) = f(x):
Подставим вместо х значение -х в изначальное уравнение:
у = (-х)*tg(-х)

Заменим tg(-х) на -tg(х), так как тангенс нечетной функции поменяет знак:
у = -х*(-tg(х))

Упростим выражение:
у = х*tg(х)

Мы получили исходную функцию. Значит, функция у=х*tg x является четной.

2) Проверяем условие f(-x) = -f(x):
Подставим вместо х значение -х в изначальное уравнение:
у = (-х)*tg(-х)

Заменим tg(-х) на -tg(х), так как тангенс нечетной функции поменяет знак:
у = -х*(-tg(х))

Упростим выражение:
у = х*tg(х)

Мы получили исходную функцию, но со знаком минус перед х. Значит, функция у=х*tg x не является нечетной.

Итак, функция у=х*tg x является только четной.

б) Функция у=2sin x - ctg x.

Проверим условие f(-x) = f(x) для определения, четная ли функция.

Подставим вместо х значение -х в изначальное уравнение:
у = 2sin(-х) - ctg(-х)

Заменим sin(-х) на -sin(х), так как синус нечетной функции поменяет знак:
у = 2*(-sin(х)) - ctg(-х)

Заменим ctg(-х) на -ctg(х), так как котангенс нечетной функции поменяет знак:
у = -2sin(х) + ctg(х)

Теперь сравним это с изначальной функцией у=2sin x - ctg x.
Видим, что это исходная функция с знаком минус перед каждым слагаемым. Значит, функция у=2sin x - ctg x является нечетной.

Итак, функция у=2sin x - ctg x является только нечетной.