50
3 и 4
_._._._._._._._._._


503 и 4 _._._._._._._._._._

ксе16 ксе16    3   01.01.2022 19:15    0

Ответы
tanyatanechk tanyatanechk  15.02.2022 08:40

3) \boxed{S_{\phi} = \dfrac{5}{6}} квадратных единиц

4) \boxed{S_{\phi} = \dfrac{28}{3}} квадратных единиц

Объяснение:

3)

По условию фигура ограничена линиями:

y = x^{2}

y = 0

y = -x + 2

Линии ограничивают область (закрашенную желтым цветом и которую можно назвать ABC).

Прямые  y = 0 и y = -x +2 имеют пересечения в точке C(2;0).

0 = -x + 2 ⇒ x = 2; y(-2) = 0

Прямые  y = 0 и y = x^{2} имеют пересечения в точке A(0;0).

Прямые  y = -x + 2 и y = x^{2} имеют пересечения в точке B(0;0).

-x + 2 = x^{2}

x^{2} + x - 2 = 0

D = 1 - 4 \cdot 1\cdot (-2) =1 + 8 = 9 = 3^{2}

x_{1} = \dfrac{-1 + 3}{2} = \dfrac{2}{2} = 1

x_{2} = \dfrac{-1 -3}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2

Однако так как нас согласно расположению графиков относительно друг друг друга, то нас интересует x_{1} = 1, то есть точка B(1;1).

Проведем прямую x = 1. Таким образом она разбила желтую часть на две фигуры. Где площадь криволинейно трапеции ABD с пределами интегрирования от 0 до 1 можно найти с определенного интеграла, а оставшуюся площадь, как площадь треугольника BDC. То есть площадь фигуры имеет вид: S_{\phi} = \displaystyle \int\limits^1_0 {x^{2} } \, dx + S_{BDC}.

а) \displaystyle \int\limits^1_0 {x^{2} } \, dx = \dfrac{x^{3}}{3} \bigg | _0^1 = \dfrac{1}{3}(1^{3} - 0^{3}) = \dfrac{1}{3} квадратных единиц.

б) S_{BDC}

Так как отрезок BD треугольника ΔBDC лежит на прямой x = 1, то треугольник ΔBCD - прямоугольный с катетами BD и DC.

Зная координаты точек B(1;1),D(1;0),C(2;0) найдем длинны отрезков BD и DC. BD = \sqrt{(x_{D} - x_{B})^{2} + (y_{D} - y_{B})^{2}} = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{0^{2} + (-1)^{2}} = 1.

DC = \sqrt{(x_{C} - x_{D})^{2} + (y_{C} - y_{D})^{2}} = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (0 - 0)^{2}} = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1.

По формуле площади прямоугольного треугольника (ΔBDC) :

S_{BDC} = 0,5 \cdot BD \cdot CD = 0,5 \cdot 1 \cdot 1 = 0,5 квадратных единиц.

в) Площадь фигуры: S_{\phi} = \displaystyle \int\limits^1_0 {x^{2} } \, dx + S_{BDC} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2 + 3}{6} = \dfrac{5}{6} квадратных единиц.

4)

По условию фигура ограничена линиями:

y = 2\sqrt{x}

y = 0

x = 1

x = 4

Пределы интегрирования:

a = 1

b = 4

Найдем площадь криволинейной трапеции по определению:

S_{\phi} = \displaystyle \int\limits^4_1 {2\sqrt{x} - 0 } \, dx = \displaystyle 2 \int\limits^4_1 {\sqrt{x} } \, dx = \dfrac{4x\sqrt{x} }{3} \bigg | _4^1 = \dfrac{4}{3} (4\sqrt{4} - 1\sqrt{1)} = \dfrac{4}{3}(4 \cdot 2 - 1 \cdot 1)=

= \dfrac{4}{3}(8 - 1) = \dfrac{4}{3} \cdot 7 = \dfrac{28}{3} квадратных единиц.


503 и 4 _._._._._._._._._._
503 и 4 _._._._._._._._._._
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра