50 ! ! сколько корней имеет уравнение sin^2 x+ cos^2 2x+ cos^2(п/2+2x)cosxtgx=1 на промяжутке(0; 2п) ? сначала по форм , потом , представить в виде квадратного уравнения, посчитать его корни и дальше через производные. я застрял на квадратном, не получается корни посчитать.

Ответы

Aruna0001 07.07.2020 13:22

$sin^2x+cos^22x+cos^2(\frac{\pi}{2}+2x)cosxtgx=1\\\\
 sin^2x+cos^22x+sin^22x*sinx=1\\\\ 
sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x*cos^2x*sinx=1\\\\
$
$sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x*cos^2x*sinx=1\\\\ 
 sin^2x+(1-2sin^2x)^2+4sin^2x(1-sin^2x)*sinx=1\\\\
sinx=t\\\\
t^2(1-2t^2)^2+4t^2(1-t^2)*t=1\\\\
(t^2-1)(4t^4-4t^3+1)=0\\\\
t=+-1\\\\
4t^4-4t^3+1=0\\\\
$
Рассмотрим функцию
$f(t)=4t^4-4t^3+1 \\\\
 f'(t)=16t^3-12t^2\\\\
16t^3-12t^2=0\\\\
4t^2(4t-3)=0\\\\
t=0\\\\
t=\frac{3}{4}\\\\
$
Так как область определения функция $t \in (-\infty;+\infty)$ , на отрезке
$t \in (-\infty;\frac{3}{4}]\\\\
f'(t)<0$ , на отрезке $t \in [ \frac{3}{4};+\infty)\\\\
 f'(t)0$ возрастает .
Следовательно минимальное значение функций
$f(\frac{3}{4}) = \frac{37}{64}$ . График не будет пересекать ось