50 , с .

найдите: а) стороны двух квадратов, если сумма их площадей равна 25 дм², а произведение длин этих сторон равна 12 дм²;

б) площадь прямоугольного треугольника, если известно, что его гипотенуза, равна 13 см, возрастёт на 4 см при увеличении каждого катета на 3 см.

Ответы

ALEXGEEK 08.10.2020 09:58

№1.

Объяснение:

Пусть сторона 1-го квадрата равна А, а сторона 2-го равна В. Тогда можно составить систему уравнений:

$\left \{ {{A*B=12} \atop {A^2+B^2=25}} \right.$

Выражаем значение одной из переменных из 1-го уравнения и подставляем во 2-е:

$A=\frac{12}{B}\\(\frac{12}{B})^2+B^2=25\\\frac{144}{B^2}+B^2=25$

Домножим все слагаемые на B^2, и затем заменим B^2 на t:

$B^4-25B^2+144=0\\t^2-25t+144=0\\D=625-4*144=49=7^2\\t_1=\frac{7-25}{2} ; t_2=\frac{7+25}{2} =16\\B^2=16; B=4\\A*4=12; A=3$

Значение t1 меньше 0, что не соответствует здравому смыслу, поэтому его не рассматриваем.

ответ: 3 и 4 см

-----------------

№2.

Объяснение:

Пусть один катет равен a, второй равен b. Тогда, исходя из теоремы Пифагора, составим систему уравнений:

$\left \{ {{a^2+b^2=13^2} \atop {(a+3)^2+(b+3)^2=17^2}} \right. \\\left \{ {{a^2+b^2=169} \atop {(a^2+b^2)+(6a+9+6b+9)=289}} \right. \\\left \{ {{a^2+b^2=169} \atop {6a+6b+18=120}} \right. \\\left \{ {{a^2+b^2=169} \atop {a+b=17}} \right.$

Выразим одну из переменных из 2-го уравнения и подставим в 1-е:

$a+b=17\\a=17-b\\(17-b)^2+b^2=169\\289-34b+b^2+b^2=169\\2b^2-34b+120=0\\b^2-17b+60=0\\D=289-4*60=49=7^2\\b_1=\frac{17-7}{2} =5; b_2=\frac{17+7}{2} =12\\a_1=17-5=12; a_2=17-12=5$