a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
(х² – xy + y²)³ + (х² + xy + y²)³ = ((х² – xy + y²) + (х² + xy + y²))((х² – xy +y²)² - (х² – xy +y²)(х² + xy +y²) + (х² + xy +y²)²) = (2х² + 2y²)((х² – xy +y²)² - (х² – xy + y²)(х² + xy + y²) + (х² + xy +y²)²)
(2х² + 2y²) ≥ 0
x² + y² = a
xy = b
(х² – xy +y²)² - (х² – xy + y²)(х² + xy + y²) + (х² + xy +y²)² = (a - b)² - (a - b)(a + b) + (a + b)² = a² - 2ab + b² - a² + b² + a² + 2ab + b² = a² + 3b² = (x² + y²)² + 3x²y² ≥ 0
произведение 2-х неотрицательных чисел
число неотрицательное
доказано
(x^2 - xy + y^2)^3 + (x^2 +xy + y^2)^3
Для удобства сделаем замены:
(x+y)/2 = a
(x-y)/2 = b
xy = a^2 - b^2
x^2 + y^2 = 2(a^2 + b^2)
Тогда получим:
(x^2 - xy + y^2)^3 + (x^2 +xy + y^2)^3 =
= (a^2+3b^2)^3 + (3a^2 + b^2)^3 >= 0, ибо квадраты неотрицательны.
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
(х² – xy + y²)³ + (х² + xy + y²)³ = ((х² – xy + y²) + (х² + xy + y²))((х² – xy +y²)² - (х² – xy +y²)(х² + xy +y²) + (х² + xy +y²)²) = (2х² + 2y²)((х² – xy +y²)² - (х² – xy + y²)(х² + xy + y²) + (х² + xy +y²)²)
(2х² + 2y²) ≥ 0
x² + y² = a
xy = b
(х² – xy +y²)² - (х² – xy + y²)(х² + xy + y²) + (х² + xy +y²)² = (a - b)² - (a - b)(a + b) + (a + b)² = a² - 2ab + b² - a² + b² + a² + 2ab + b² = a² + 3b² = (x² + y²)² + 3x²y² ≥ 0
произведение 2-х неотрицательных чисел
число неотрицательное
доказано
(x^2 - xy + y^2)^3 + (x^2 +xy + y^2)^3
Для удобства сделаем замены:
(x+y)/2 = a
(x-y)/2 = b
xy = a^2 - b^2
x^2 + y^2 = 2(a^2 + b^2)
Тогда получим:
(x^2 - xy + y^2)^3 + (x^2 +xy + y^2)^3 =
= (a^2+3b^2)^3 + (3a^2 + b^2)^3 >= 0, ибо квадраты неотрицательны.