30 ! даны вершины треугольника а(2; -5), в(-7; 7), с(-6; -11). найти: а) длину сторон ав и ас; б) внутренний угол при вершине а; в) уравнение стороны вс; г) уравнение высоты ан; д) уравнение медианы см; е) систему неравенств, определяющих треугольник.

Решение в прикрепленном фото.

Добрый день! Прежде чем перейти к решению задачи, давайте вспомним основные определения и свойства треугольника.

Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В треугольнике каждая сторона соединяет две вершины, а каждый угол образуется пересечением двух сторон.

1. Длина сторон:

a) Для нахождения длины сторон ав и ас, нужно применить формулу вычисления расстояния между двумя точками в декартовой системе координат (x1, y1) и (x2, y2):

Длина стороны ab = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
Длина стороны ac = √[(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2]

Подставим значения вершин:
Длина стороны ab = √[(-7 - 2)^2 + (7 - (-5))^2]
= √[(-9)^2 + (12)^2]
= √[81 + 144]
= √225
= 15

Длина стороны ac = √[(-6 - 2)^2 + (-11 - (-5))^2]
= √[(-8)^2 + (-6)^2]
= √[64 + 36]
= √100
= 10

Ответ: Длина стороны ab равна 15, длина стороны ac равна 10.

б) Чтобы найти внутренний угол при вершине а, воспользуемся формулой для вычисления угла между двумя векторами:

cos α = (a*b) / (|a| * |b|)

где α - искомый угол, а и b - векторы с началом в общей вершине a, |a| и |b| - длины этих векторов.

Вектор ab = (x2 - x1, y2 - y1) = (-7 - 2, 7 - (-5)) = (-9, 12)
Вектор ac = (x3 - x1, y3 - y1) = (-6 - 2, -11 - (-5)) = (-8, -6)

Теперь найдем длины этих векторов:
|ab| = √[(-9)^2 + (12)^2] = √[81 + 144] = √225 = 15
|ac| = √[(-8)^2 + (-6)^2] = √[64 + 36] = √100 = 10

Теперь можем найти cos α:
cos α = ((-9)*(-8) + 12*(-6)) / (15 * 10)
= (72 - 72) / 150
= 0 / 150
= 0

Угол α = arccos 0 = 90 градусов

Ответ: Внутренний угол при вершине а равен 90 градусов.

2. Уравнение стороны вс:

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), можно найти, используя формулу:

(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)

Подставим значения вершин c и a:

(y - (-11)) / (-11 - (-5)) = (x - (-6)) / (-6 - 2)

(y + 11) / (-6 + 2) = (x + 6) / (-8)

-4(y + 11) = -6(x + 6)

-4y - 44 = -6x - 36

-4y = -6x + 8

Ответ: Уравнение стороны вс равно -4y = -6x + 8.

3. Уравнение высоты ан:

Высота - это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Усолье высоты совпадает с серединой основания, поэтому будем искать уравнение прямой, проходящей через точку а и точку с, у которой координаты x совпадают с координатами точки b.

(y - (-5)) / (-7 - 2) = (x - 2) / (-7 -(-2))

(y + 5) / (-9) = (x - 2) / (-5)

-5(y + 5) = -9(x - 2)

-5y - 25 = -9x + 18

5y = -9x + 43

Ответ: Уравнение высоты ан равно 5y = -9x + 43.

4. Уравнение медианы см:

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Найдем середину стороны ac:
xс = (x1 + x3) / 2 = (2 + (-6)) / 2 = -4 / 2 = -2
yс = (y1 + y3) / 2 = (-5 + (-11)) / 2 = -16 / 2 = -8

Уравнение медианы будет иметь вид:
(y - (-5)) / (-11 - (-8)) = (x - 2) / (-7 - (-2))

(y + 5) / (-3) = (x - 2) / (-5)

3(y + 5) = -3(x - 2)

3y + 15 = -3x + 6

3y = -3x - 9

Ответ: Уравнение медианы см равно 3y = -3x - 9.

5. Система неравенств, определяющих треугольник:

a) Для определения системы неравенств, определяющих треугольник, воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Таким образом, получаем следующую систему неравенств:

ab + ac > bc
ab + bc > ac
ac + bc > ab

Подставляем значения сторон:
15 + 10 > bc
15 + bc > 10
10 + bc > 15

15 + 10 > bc
25 > bc

15 + bc > 10
5 > bc

10 + bc > 15
bc > 5

Ответ: Система неравенств, определяющих треугольник, выглядит следующим образом: 15 + 10 > bc, 15 + bc > 10, 10 + bc > 15.

Заключение: Мы нашли длину сторон ab и ac, внутренний угол при вершине а, уравнение стороны вс, уравнение высоты ан, уравнение медианы см и систему неравенств, определяющих треугольник.