2.Для случайной величины Х с данным рядом распределения X 1 4 5
7
P Pi 0,1 0.3 p2
а) найдите р и р2 так, чтобы М(Х)=3,7;
( )1
b) вычислите М(3Х), пользуясь свойством математического ожидания.
с) найти дисперсию

Для решения данной задачи нам понадобятся значения вероятности P(X=1), P(X=4), P(X=5) и P(X=7). Пусть P(X=1) = p, P(X=4) = 0.1, P(X=5) = 0.3 и P(X=7) = p2. а) Найдем значение р и р2, при которых М(Х) = 3.7. Математическое ожидание M(X) вычисляется по формуле: M(X) = Σ(xi * Pi), где xi - значения случайной величины, а Pi - соответствующие вероятности. Для данного ряд распределения, М(Х) = 1 * p + 4 * 0.1 + 5 * 0.3 + 7 * p2. По условию задачи, М(Х) = 3.7. Уравнение получается следующим образом: p + 0.4 + 1.5 + 7p2 = 3.7. Для нахождения значений р и р2 решим данное уравнение: 1p + 7p2 + 0.4 + 1.5 = 3.7 8p + 7p2 = 3.3 p(8 + 7p) = 3.3 8 + 7p = 3.3/p Решим это уравнение с помощью метода замены переменной: 8p + 7p2 = 3.3 7p2 + 8p - 3.3 = 0 Для упрощения уравнения умножим на 10: 70p2 + 80p - 33 = 0 Оставим переменную p в виде (7p - x): (7p - x)(10p + 4) = 0 Раскроем скобки и упростим выражение: 70p2 + 28p - 10xp - 4x = 0 Разделим каждый член на 2: 35p2 + 14p - 5xp - 2x = 0 В этом уравнении коэффициент при переменной p равен 14 - 5x = 8, откуда получаем x = 1.2. Подставим полученное значение x в уравнение (7p - x)(10p + 4) = 0: (7p - 1.2)(10p + 4) = 0 Решаем первое уравнение: 7p - 1.2 = 0 7p = 1.2 p = 1.2 / 7 p ≈ 0.1714 Решаем второе уравнение: 10p + 4 = 0 10p = -4 p = -4 / 10 p = -0.4 Так как p не может быть отрицательным, то рассматриваем только первое уравнение: p ≈ 0.1714 Таким образом, значение р должно быть около 0.1714 и р2 - около 0.1714. б) Чтобы вычислить М(3Х), мы можем воспользоваться свойством математического ожидания: M(cX) = c * M(X), где c - некоторая постоянная. В нашем случае, чтобы найти M(3Х), умножим каждое значение случайной величины на 3 и найдем математическое ожидание: M(3Х) = 3 * (1 * p + 4 * 0.1 + 5 * 0.3 + 7 * p2) = 3 * (p + 0.4 + 1.5 + 7p2) = 3p + 1.2 + 4.5 + 21p2 = 21p2 + 3p + 5.7 Таким образом, М(3Х) = 21p2 + 3p + 5.7. c) Чтобы найти дисперсию случайной величины X, мы можем воспользоваться следующей формулой: D(X) = Σ[(xi - M(X))^2 * Pi] где xi - значения случайной величины, Pi - соответствующие вероятности, M(X) - математическое ожидание. В нашем случае, чтобы найти D(X), нам необходимо знать значения вероятности Pi, все значения xi из ряда распределения X и математическое ожидание М(Х). Значения вероятностей P(X=1), P(X=4), P(X=5) и P(X=7) уже предоставлены в задаче. Найдем значение М(Х) из пункта а): М(Х) = 1 * p + 4 * 0.1 + 5 * 0.3 + 7 * p2 = p + 0.4 + 1.5 + 7p2 Подставим значения вероятностей и М(Х) в формулу для дисперсии: D(X) = (1 - (p + 0.4 + 1.5 + 7p2))^2 * p + (4 - (p + 0.4 + 1.5 + 7p2))^2 * 0.1 + (5 - (p + 0.4 + 1.5 + 7p2))^2 * 0.3 + (7 - (p + 0.4 + 1.5 + 7p2))^2 * p2 используя свойство, что p + 0.4 + 1.5 + 7p2 = M(Х), упростим выражение: D(X) = (1 - M(Х))^2 * p + (4 - M(Х))^2 * 0.1 + (5 - M(Х))^2 * 0.3 + (7 - M(Х))^2 * p2 Таким образом, дисперсия случайной величины X равна (1 - M(Х))^2 * p + (4 - M(Х))^2 * 0.1 + (5 - M(Х))^2 * 0.3 + (7 - M(Х))^2 * p2. Окончательный ответ: a) Около 0.1714 и около 0.1714 b) 21p2 + 3p + 5.7 c) (1 - M(Х))^2 * p + (4 - M(Х))^2 * 0.1 + (5 - M(Х))^2 * 0.3 + (7 - M(Х))^2 * p2.