12х+4у+84-x^2- 8xy+y^2 найти наибольшее значение если известно что 3x-y-4=0

Для начала, нам нужно решить систему уравнений, чтобы найти значение переменных x и y. По условию задачи, у нас дано уравнение 3x - y - 4 = 0. Мы можем решить это уравнение относительно одной переменной и подставить полученное значение в другое уравнение.

Решим уравнение 3x - y - 4 = 0 относительно x:
3x = y + 4
x = (y + 4)/3

Теперь мы можем заменить x в исходном выражении:

12((y + 4)/3) + 4y + 84 - ((y + 4)/3)^2 - 8((y + 4)/3)y + y^2

Упростим это выражение. Сначала раскроем скобки в квадрате:

((y + 4)/3)^2 = (y + 4)(y + 4)/9 = (y^2 + 8y + 16)/9

Подставим это обратно в исходное выражение:

12((y + 4)/3) + 4y + 84 - (y^2 + 8y + 16)/9 - 8((y + 4)/3)y + y^2

Раскроем скобки:

(12(y + 4))/3 + 4y + 84 - (y^2 + 8y + 16)/9 - (8(y + 4)y)/3 + y^2

Сократим подобные члены:

(4y + 48)/3 + 4y + 84 - (y^2 + 8y + 16)/9 - (8y^2 + 32y)/3 + y^2

(4y + 48)/3 + (12y)/3 + 84 - (y^2 + 8y + 16)/9 - (8y^2 + 32y)/3 + y^2

(4y + 48 + 12y)/3 + 84 - (y^2 + 8y + 16)/9 - (8y^2 + 32y)/3 + y^2

(16y + 48)/3 + 84 - (y^2 + 8y + 16)/9 - (8y^2 + 32y)/3 + y^2

Теперь найдем общий знаменатель и сложим дроби:

(16y + 48)/3 - ((y^2 + 8y + 16)/9) - (8y^2 + 32y)/3 + y^2 + 84

(16y + 48 - (y^2 + 8y + 16))/3 - (8y^2 + 32y)/3 + y^2 + 84

(16 - 1/9)y^2 + (16 - 8/3)y + (48 - 16/9 - 32/3) + 84

Упростим числовые выражения:

(16 - 1/9)y^2 + (48/3 - 8/3)y + (48/9 - 16/9 - 96/9) + 84

(144/9 - 1/9)y^2 + (40/3)y + (-64/9) + 84

(143/9)y^2 + (40/3)y + (144/9 - 64/9)

Решим это уравнение относительно y и найдем его вершину (наибольшее значение):

Для этого воспользуемся формулой для нахождения координат вершины параболы: x = -b/2a

a = 143/9, b = 40/3

y = -(40/3)/(2 * 143/9)

y = -(40/3)/(286/9)

y = -40/3 * 9/286

y = -120/858

Теперь мы можем найти значение x, подставив полученное значение y в уравнение 3x - y - 4 = 0:

3x - (-120/858) - 4 = 0

3x + 120/858 - 3432/858 = 0

3x - 3312/858 = 0

3x = 3312/858

x = 3312/858 * 1/3

x = 1104/2574

Итак, наибольшее значение выражения 12х + 4у + 84 - x^2 - 8xy + y^2 при условии 3x - y - 4 = 0 равно:

12 * (1104/2574) + 4 * (-120/858) + 84 - (1104/2574)^2 - 8 * (1104/2574) * (-120/858) + (-120/858)^2