12.8. Исследуйте функцию у = f(x) на непрерывность: а) y=25/x^2+25;
б) y=1/x^2+4x+4;
в) y=4x/x^2+x;
г) y=x/1-cos x

Давайте исследуем каждую функцию по очереди на непрерывность.

а) Функция y = 25/x^2 + 25.

Чтобы узнать, непрерывна ли функция в точке x₀, нужно проверить три условия: существование значения функции в этой точке, существование предела функции в этой точке, и совпадение этих двух значений.

1. Существование значения функции в точке x₀. Значение функции существует, если знаменатель не равен нулю. В данной функции знаменатель равен x^2, поэтому функция определена для всех значений x, кроме x=0.

2. Существование предела функции в точке x₀. Чтобы найти предел, найдем функцию g(x) = 25/x^2. Предел этой функции, когда x стремится к x₀, можно найти с помощью правила о пределах суммы и произведения функций: lim(g(x)) = lim(25) / lim(x^2). Предел 25 равен 25, а предел x^2 равен x₀^2. Таким образом, предел функции f(x) равен lim(25) / lim(x^2) + 25 = 25 / (x₀^2) + 25.

3. Совпадение значения функции и предела в точке x₀. Значение функции в точке x₀ равно 25/x₀^2 + 25. Подставим это значение в выражение для предела и получим: 25/(x₀^2) + 25 = 25/(x₀^2) + 25. Таким образом, значение функции и предела совпадают.

Итак, функция y = 25/x^2 + 25 непрерывна для всех значений x, кроме x=0.

б) Функция y = 1/x^2 + 4x + 4.

1. Существование значения функции в точке x₀. Значение функции существует, если знаменатель не равен нулю. В данной функции знаменатель равен x^2, поэтому функция определена для всех значений x, кроме x=0.

2. Существование предела функции в точке x₀. Чтобы найти предел, найдем функцию g(x) = 1/x^2. Предел этой функции, когда x стремится к x₀, можно найти так же, как в предыдущем случае: lim(g(x)) = lim(1) / lim(x^2) = 1 / (x₀^2).

3. Совпадение значения функции и предела в точке x₀. Значение функции в точке x₀ равно 1/x₀^2 + 4x₀ + 4. Подставим это значение в выражение для предела и получим: 1 / (x₀^2) + 4x₀ + 4 ≠ 1 / (x₀^2). Таким образом, значение функции и предела не совпадают.

Итак, функция y = 1/x^2 + 4x + 4 непрерывна для всех значений x, кроме x=0.

в) Функция y = 4x / (x^2 + x).

1. Существование значения функции в точке x₀. Значение функции существует, если знаменатель не равен нулю. В данной функции знаменатель равен x^2 + x, поэтому функция определена для всех значений x, кроме x=0 и x=-1.

2. Существование предела функции в точке x₀. Чтобы найти предел, найдем функцию g(x) = 4x / (x^2 + x). Чтобы найти предел этой функции, можно разделить каждую часть на x и применить правило о пределах отношений функций: lim(g(x)) = lim(4) / (lim(x^2) + lim(x)) = 4 / (x₀^2 + x₀).

3. Совпадение значения функции и предела в точке x₀. Значение функции в точке x₀ равно 4x₀ / (x₀^2 + x₀). Подставим это значение в выражение для предела и получим: 4 / (x₀^2 + x₀) = 4 / (x₀^2 + x₀). Таким образом, значение функции и предела совпадают.

Итак, функция y = 4x / (x^2 + x) непрерывна для всех значений x, кроме x=0 и x=-1.

г) Функция y = x / (1 - cos x).

1. Существование значения функции в точке x₀. Значение функции существует, если знаменатель не равен нулю. В данной функции знаменатель равен 1 - cos x, поэтому функция определена для всех значений x, кроме точек, в которых cos x = 1. Такие точки есть, например, x=2π и x=-2π, но здесь мы рассмотрим только точки, в которых cos x ≠ 1.

2. Существование предела функции в точке x₀. Чтобы найти предел, найдем функцию g(x) = x / (1 - cos x). Предел этой функции, когда x стремится к x₀, можно найти так же, как в предыдущих случаях: lim(g(x)) = lim(x) / lim(1 - cos x) = lim(x) / (1 - cos(x₀)).

3. Совпадение значения функции и предела в точке x₀. Значение функции в точке x₀ равно x₀ / (1 - cos x₀). Подставим это значение в выражение для предела и получим: x₀ / (1 - cos(x₀)) = x₀ / (1 - cos(x₀)). Таким образом, значение функции и предела совпадают.

Итак, функция y = x / (1 - cos x) непрерывна для всех значений x, кроме точек, в которых cos x = 1.