1.решите систему уравнений
x-2y=1
xy+y=12
2.одна из сторон прямоугольника на 7 см больше другой, а его диагональ равна 13 см. найдите стороны прямоугольника.
3.не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности x^2+y^2=5 и прямой x+3y=7.
4.изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств
x^2+y^2≤9
y-x≤1

1. Решение системы уравнений:
Дана система уравнений:
x - 2y = 1 (уравнение 1)
xy + y = 12 (уравнение 2)

Для начала решим уравнение 1 относительно x:

x = 1 + 2y (уравнение 3)

Теперь подставим значение x из уравнения 3 в уравнение 2:

(1 + 2y)y + y = 12
y + 2y^2 + y = 12
2y^2 + 2y = 12
y^2 + y - 6 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью факторизации или используя квадратное уравнение:

(y + 3)(y - 2) = 0

Отсюда получаем два возможных значения y: y = -3 и y = 2.

Теперь найдем соответствующие значения x, подставив найденные значения y в уравнение 3:

x = 1 + 2(-3) = 1 - 6 = -5 (при y = -3)
x = 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5 (при y = 2)

Итак, система имеет два решения: (-5, -3) и (5, 2).

2. Нахождение сторон прямоугольника:
Пусть одна сторона прямоугольника равна x см. Тогда другая сторона будет равна (x + 7) см.
Известно, что диагональ прямоугольника равна 13 см. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти x.

Применяя теорему Пифагора к прямоугольнику, получаем:

x^2 + (x + 7)^2 = 13^2
x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169
2x^2 + 14x - 120 = 0

Решаем это квадратное уравнение с помощью факторизации или используя формулу квадратного корня:

(x - 4)(x + 10) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 4 и x = -10 (отрицательное значение стороны не имеет физического смысла).

Теперь найдем длину другой стороны, подставив найденное значение x в уравнение (x + 7):

длина другой стороны = 4 + 7 = 11 см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 4 см и 11 см.

3. Нахождение координат точек пересечения окружности и прямой:
Дано уравнение окружности: x^2 + y^2 = 5 (уравнение 1)
и уравнение прямой: x + 3y = 7 (уравнение 2)

Чтобы найти точки пересечения, решим эту систему уравнений методом подстановки:

Используем уравнение 2 для нахождения x:

x = 7 - 3y

Подставим это значение x в уравнение 1:

(7 - 3y)^2 + y^2 = 5
49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5
10y^2 - 42y + 44 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или используя формулу квадратного корня:

(y - 2)(5y - 22) = 0

Отсюда получаем две возможные значения y: y = 2 и y = 22/5.

Теперь найдем соответствующие значения x, подставив найденные значения y в уравнение x = 7 - 3y:

x = 7 - 3(2) = 7 - 6 = 1 (при y = 2)
x = 7 - 3(22/5) ≈ 7 - 66/5 ≈ -1.2 (при y = 22/5)

Итак, точки пересечения окружности x^2 + y^2 = 5 и прямой x + 3y = 7 равны (1, 2) и (-1.2, 22/5).

4. Изображение множества решений системы неравенств:
Даны неравенства:
x^2 + y^2 ≤ 9 (неравенство 1)
y - x ≤ 1 (неравенство 2)

Давайте начнем с решения неравенства 1. Это неравенство описывает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 3 (так как 3^2 = 9). Центр круга находится внутри круга, так как условием является "меньше или равно".

Теперь решим неравенство 2, чтобы найти линию, которая разделяет множество решений на две части. Перепишем неравенство в виде y ≤ x + 1. Это неравенство описывает линию с наклоном 45 градусов, проходящую через точку (0, 1) и уходящую вправо.

Таким образом, множество решений системы неравенств - это круг с центром в начале координат и радиусом 3, включающий границу (окружность), и все точки, находящиеся слева от прямой y = x + 1.

Множество решений будет выглядеть примерно так:
_______
/ /
/______/

(-3, 0)

|
|
|_________ (1, 2)

|
|
|_________

|
|
|_________ (3, 2)