1. Прямая y=2x+3 является касательной к графику функции y=x^3+4x^2-x-15 . Найдите абсциссу точки касания.
2. Прямая y=-2x-1 является касательной к графику функции y=2x^2+bx+71 . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше нуля.

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя и помочь вам решить задачи.

1. Для того чтобы найти абсциссу точки касания двух графиков, нам нужно приравнять значения функций в этих точках. В данном случае, нам нужно приравнять функцию y = 2x+3 и функцию y = x^3+4x^2-x-15.

Подставим значение y из первой функции во вторую функцию:
2x+3 = x^3+4x^2-x-15

Далее перенесём все элементы на одну сторону уравнения:
x^3+4x^2-x-2x-3+15 = 0
x^3+4x^2-3x+12 = 0

Теперь мы можем использовать различные методы решения кубического уравнения для нахождения корней. Один из самых простых методов - использовать подбор чисел из списка делителей свободного члена (в данном случае 12) и делителей старшего коэффициента (в данном случае 1), чтобы найти корень уравнения.

Обратите внимание, что у нас есть положительная абсцисса точки касания. Это значит, что должен существовать положительный корень. Попробуем подобрать положительные делители, чтобы увидеть, какой из них является корнем:

Подставим x = 1:
1^3+4(1)^2-3(1)+12 = 0
1+4-3+12 = 0
12+1=0

Увы, x = 1 не является корнем. Попробуем другой делитель. Подставим x = 2:
2^3+4(2)^2-3(2)+12 = 0
8+16-6+12 = 0
24+10=0

К сожалению, x = 2 тоже не является корнем. Попробуем следующий делитель. Подставим x = 3:
3^3+4(3)^2-3(3)+12 = 0
27+36-9+12 = 0
63 = 0

Ура! x = 3 является корнем уравнения. Таким образом, прямая y=2x+3 касается графика функции y=x^3+4x^2-x-15 в точке с абсциссой x = 3.

2. Аналогично первой задаче, мы должны приравнять функции y = -2x-1 и y = 2x^2+bx+71:
-2x-1 = 2x^2+bx+71

Перенесём все элементы на одну сторону уравнения:
2x^2+bx-2x-71+1 = 0
2x^2+(b-2)x-70 = 0

Мы ищем значение b, при котором существует положительная абсцисса точки касания. То есть, нам нужно найти корень уравнения, который будет больше 0.

По аналогии с предыдущим уравнением, попробуем подобрать делители 70, чтобы найти корни. Подставим x = 1:
2(1)^2+(b-2)(1)-70 = 0
2+b-2-70 = 0
b-70=0

Очевидно, что первый делитель уже подходит. Корень уравнения x = 1 подходит. Теперь проверим условие, что абсцисса точки касания должна быть больше 0.

x = 1 больше 0, так что у нас есть правильный корень.

Таким образом, при b = 70 прямая y = -2x-1 будет касаться графика функции y = 2x^2+bx+71 в точке с абсциссой x = 1.

Надеюсь, эти подробные и обстоятельные ответы помогли вам, и задачи теперь кажутся более понятными. Если у вас есть ещё вопросы, обращайтесь, и я буду рад помочь!