1. Найдите угол правильного 20-угольника.
2. Найдите площадь правильного 6-угольника, если радиус описанной окружности 4 см.
3. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной окружности 3,5 см.
4. Сторона правильного треугольника 5 3 см. Найдите радиус описанной окружности и площадь треугольника.
5. Найдите площадь круга, если его радиус 10 см.
6. Найдите длину дуги окружности радиуса 8 см, ограниченную углом 27.
7. Найдите радиус окружности и площадь круга, если длина окружности равна 11

1. У нас есть правильный 20-угольник. В правильном 20-угольнике все стороны равны друг другу, и все углы равны. Чтобы найти угол правильного 20-угольника, мы можем воспользоваться формулой для нахождения угла в правильном n-угольнике. Формула гласит: угол = (n-2) * 180 / n, где n - количество сторон у многоугольника. В нашем случае, n = 20, поэтому угол = (20-2) * 180 / 20 = 18 * 180 / 20 = 9 * 9 = 162 градуса. 2. У нас есть правильный 6-угольник, и известно, что радиус описанной окружности равен 4 см. Управляющая окружность проходит через вершины шестиугольника и касается всех его сторон. Чтобы найти площадь правильного 6-угольника, мы можем разделить его на 6 равносторонних треугольников, так как у шестиугольника все стороны и углы равны. Для каждого треугольника, мы знаем, что его радиус описанной окружности равен 4 см. Мы также знаем, что у равностороннего треугольника каждая высота равна среднеарифметическому между радиусом описанной окружности и радиусом вписанной окружности. В нашем случае, радиус описанной окружности равен 4 см, поэтому высота равна (4 + 4) / 2 = 4 см. Формула для нахождения площади равностороннего треугольника: площадь = (сторона^2 * √3) / 4, где сторона - длина стороны треугольника. Нам нужно найти площадь одного треугольника, поэтому нам необходимо знать длину стороны треугольника. Длина стороны треугольника равна диаметру описанной окружности, то есть 2 * радиус описанной окружности. В нашем случае, длина стороны треугольника равна 2 * 4 см = 8 см. Подставляем значения в формулу: площадь = (8^2 * √3) / 4 = (64 * √3) / 4 = 16√3 см^2. Таким образом, площадь правильного 6-угольника равна 16√3 см^2. 3. У нас есть правильный треугольник, и известно, что радиус описанной окружности равен 3,5 см. Чтобы найти сторону правильного треугольника, мы можем воспользоваться формулой для нахождения стороны равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности. Формула гласит: сторона = 2 * радиус описанной окружности * √3. В нашем случае, сторона = 2 * 3,5 см * √3 = 7 см * √3. 4. Нам дана сторона правильного треугольника и мы должны найти радиус описанной окружности и площадь треугольника. Для нахождения радиуса описанной окружности, мы можем использовать формулу: радиус описанной окружности = сторона / (2 * sin(угол)), где угол - угол внутри треугольника. У нас уже есть длина стороны треугольника, она равна 5 3 см. Нам необходимо найти угол внутри треугольника. Мы знаем, что для правильного n-угольника, угол внутри равен [(n-2) * 180] / n градусов. В нашем случае, у нас правильный треугольник, поэтому угол внутри треугольника = (3-2) * 180 / 3 = 180 / 3 = 60 градусов. Подставляем значения в формулу: радиус описанной окружности = 5 3 см / (2 * sin(60 градусов)). Для нахождения sin(60 градусов), мы можем использовать таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор. Sin(60 градусов) равен √3 / 2. Подставляем значения в формулу: радиус описанной окружности = 5 3 см / (2 * (√3 / 2)) = 5 3 см / (√3) = 15 3 / √3 см = (15 3 / √3) * (√3 / √3) = (15 3 √3) / 3 см. Таким образом, радиус описанной окружности треугольника равен (15 3 √3) / 3 см. Для нахождения площади треугольника, мы можем использовать формулу: площадь = (сторона^2 * √3) / 4. У нас уже есть длина стороны треугольника, она равна 5 3 см. Подставляем значения в формулу: площадь = (5 3^2 * √3) / 4 = (5 3 * 5 3 * √3) / 4 = (5^2 * 3 * √3) / 4 = 25 * √3 / 4 см^2. Таким образом, площадь треугольника равна 25 * √3 / 4 см^2. 5. У нас есть круг и известно, что его радиус равен 10 см. Чтобы найти площадь круга, мы можем использовать формулу: площадь = π * радиус^2, где π (пи) - это математическая константа, приблизительно равная 3.14159. В нашем случае, радиус = 10 см. Подставляем значения в формулу: площадь = 3.14159 * 10^2 = 3.14159 * 100 = 314.159 см^2. Таким образом, площадь круга равна 314.159 см^2. 6. У нас есть окружность радиусом 8 см, и она ограничена углом 27. Чтобы найти длину дуги окружности, мы можем использовать формулу: длина дуги = (угол * 2 * π * радиус) / 360, где угол - угол в градусах, радиус - радиус окружности, π (пи) - это математическая константа, приблизительно равная 3.14159. В нашем случае, угол = 27 градусов, радиус = 8 см. Подставляем значения в формулу: длина дуги = (27 * 2 * 3.14159 * 8) / 360 = (54 * 3.14159 * 8) / 360 = (432 * 3.14159) / 360 ≈ 12.5664 см. Таким образом, длина дуги окружности, ограниченной углом 27, равна приблизительно 12.5664 см. 7. У нас есть окружность, и известно, что ее длина равна 11. Чтобы найти радиус окружности, мы можем использовать формулу: радиус = длина окружности / (2 * π), где длина окружности - известное значение, π (пи) - это математическая константа, приблизительно равная 3.14159. В нашем случае, длина окружности = 11. Подставляем значения в формулу: радиус = 11 / (2 * 3.14159) ≈ 1.753 см. Чтобы найти площадь круга, мы можем использовать формулу: площадь = π * радиус^2. В нашем случае, радиус = 1.753 см. Подставляем значения в формулу: площадь = 3.14159 * (1.753)^2 ≈ 9.615 см^2. Таким образом, радиус окружности ≈ 1.753 см и площадь круга ≈ 9.615 см^2.