1.доказать что 1/2-1/4+1/6-1/8++1/98-1/100> 37/120
2. у продавца имеется 10 гирь весом 1, 2, 3, 10 кг. известно, что
все покупатели, стоящие в очереди к продавцу, купили разное целое
число килограммов товара. какое максимальное число покупателей
могло стоять в очереди?
3. пусть s(a) и п(а) – соответственно сумма и произведение цифр
числа а. найдите наименьшее натуральное число а,
свойством: s(a)•п(a) = 1998. имеется ли решение этой же
для свойства s(a)•п(a) = 2010?
4. семиклассник разрезал бумажный квадрат на прямоугольники
периметра 7 см, а восьмиклассник – такой же квадрат на
прямоугольники периметра 8 см. может ли у восьмиклассника
оказаться больше прямоугольников?
5. футуролог эрнест называет год кризисным, если в его номере
четное число четных цифр. например, 3975 год – кризисный (ноль
четных цифр), а 2012 – нет (три четные цифры). сколько, согласно
его теории, будет кризисных лет на промежутке с 2013 до 12345
года (включительно)?
6. есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу
на 1 грамм от настоящих. петя взял одну монету и за одно
взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на
чашках, хочет определить фальшивая ли она. сможет ли он это
сделать?
7. на доске написано число 60. петя и вася играют в следующую
игру: за один ход разрешается уменьшить число на любой из его
делителей. проигрывает тот, кто получит ноль. начинает петя. кто
выиграет, если и петя и вася будут делать максимально выгодные
для себя шаги?
8. семь шестиклассников решили вместе 100 , причем каждый
решил разное количество . докажите, что какие-то три
школьника решили вместе не менее 50 .

1. Для доказательства неравенства 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +...+ 1/98 - 1/100 > 37/120, мы можем рассмотреть каждое слагаемое отдельно и тщательно проанализировать каждую дробь.

Разобьем неравенство на две части:

a) 1/2 + 1/6 + 1/10 + ... + 1/98 > 1/4 + 1/8 + 1/12 + ... + 1/100

b) -1/4 - 1/8 - 1/12 - ... - 1/98 - 1/100 > 0

Докажем каждую часть по отдельности.

a) Рассмотрим общий вид слагаемых в левой и правой частях неравенства. В левой части имеем сумму дробей с числителем 1 и знаменателем, увеличивающимся на 2 с каждым слагаемым, начиная с 2 (2, 4, 6, ...). В правой части имеем сумму дробей с числителем 1 и знаменателем, увеличивающимся на 4 с каждым слагаемым, начиная с 4 (4, 8, 12, ...).

Если сгруппировать слагаемые по 4, получим следующие пары:

1/2 + 1/6 = 2/6 = 1/3
1/10 + 1/14 = 2/14 = 1/7
...
1/94 + 1/98 = 2/98 = 1/49

Как видно, каждая пара в левой части больше соответствующей пары в правой части. Следовательно, левая часть больше правой.

b) Неравенство -1/4 - 1/8 - 1/12 - ... - 1/98 - 1/100 > 0 можно упростить, приведя каждую дробь к общему знаменателю. Общим знаменателем будет 400.

-1/4 - 1/8 - 1/12 - ... - 1/98 - 1/100 = -100/400 - 50/400 - 33/400 - ... - 4/400 - 3/400

Сложим числители:

-100 - 50 - 33 - ... - 4 - 3 = - (100 + 50 + 33 + ... + 4 + 3)

Так как все слагаемые отрицательные, сумма будет отрицательной. Значит, неравенство -1/4 - 1/8 - 1/12 - ... - 1/98 - 1/100 > 0 верно.

Таким образом, доказано, что и неравенство 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +...+ 1/98 - 1/100 > 37/120 верно.

2. У продавца имеется 10 гирь весом 1, 2, 3, 10 кг. Известно, что все покупатели, стоящие в очереди к продавцу, купили разное целое число килограммов товара. Найдем максимальное число покупателей, которое могло стоять в очереди.

Максимальное количество покупателей в очереди будет достигнуто в случае, когда каждый покупатель будет покупать самую легкую гирю.

1 кг - 1 покупатель
2 кг - 1 покупатель
3 кг - 1 покупатель
10 кг - 1 покупатель

Таким образом, максимальное число покупателей, которое могло стоять в очереди, равно 4.

3. Пусть s(a) и п(a) – соответственно сумма и произведение цифр числа а. Найдем наименьшее натуральное число а, у которого свойство s(a) • п(a) = 1998. Затем проверим, есть ли решение для свойства s(a) • п(a) = 2010.

Разложим число 1998 на простые множители:
1998 = 2 • 3^3 • 37

Так как мы ищем наименьшее натуральное число а, то мы должны использовать минимальные значения цифр a.
Для этого возьмем число а = 2337.

s(a) = 2 + 3 + 3 + 7 = 15
п(a) = 2 • 3 • 3 • 7 = 126

15 • 126 = 1890, что не равно 1998.

Таким образом, нет натурального числа а, для которого свойство s(a) • п(a) = 1998.

Проверим свойство s(a) • п(a) = 2010:
2010 = 2 • 3 • 5 • 67

Наименьшее натуральное число а, у которого s(a) = 2 + 3 + 5 + 6 + 7 = 23, и п(a) = 2010/23 = 87, будет иметь свойство s(a) • п(a) = 2010.

Таким образом, есть решение этой же задачи для свойства s(a) • п(a) = 2010.

4. Предположим, что семиклассник разрезал бумажный квадрат на прямоугольники периметра 7 см и восьмиклассник - такой же квадрат на прямоугольники периметра 8 см. Проверим, может ли у восьмиклассника оказаться больше прямоугольников.

Для начала, у нас есть ограничения на периметры прямоугольников: 7 см в случае с семиклассником и 8 см в случае с восьмиклассником.

Рассмотрим возможные комбинации прямоугольников, которые можно получить из данных квадратов:

Семиклассник:
1. Стороны прямоугольника = 1 см и 3 см => периметр = 1 + 3 + 1 + 3 = 8 см (нельзя, так как периметр должен быть равен 7 см).
2. Стороны прямоугольника = 1 см и 2 см => периметр = 1 + 2 + 1 + 2 = 6 см (нельзя, так как периметр должен быть равен 7 см).

Таким образом, семиклассник может получить только один прямоугольник.

Восьмиклассник:
1. Стороны прямоугольника = 1 см и 3 см => периметр = 1 + 3 + 1 + 3 = 8 см (можно).
2. Стороны прямоугольника = 1 см и 2 см => периметр = 1 + 2 + 1 + 2 = 6 см (можно).

Таким образом, восьмиклассник может получить два прямоугольника.

Следовательно, у восьмиклассника может быть больше прямоугольников, чем у семиклассника.

5. Футуролог Эрнест называет год кризисным, если в его номере четное число четных цифр. Найдем количество кризисных лет на промежутке с 2013 до 12345 года (включительно).

Рассмотрим каждый год по отдельности и подсчитаем количество четных цифр в его номере.
- Год 2013: нет четных цифр.
- Год 2014: 2 четных цифры.
- Год 2015: 2 четных цифры.
- ...
- Год 12345: 4 четных цифры.

Таким образом, на промежутке с 2013 до 12345 года (включительно) будет 4 кризисных года.

6. Из 101 монеты, 50 являются фальшивыми и отличаются по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Да, Пете удастся определить, является ли взятая им монета фальшивой, используя результат взвешивания на весах.

Существует несколько вариантов, как может быть сбалансировано взвешивание на весах:
- Если взятая Петей монета на самом деле является фальшивой (отличается по весу на 1 грамм), и остальные 100 монет настоящие, то стрелка на весах будет указывать разность весов в 1 грамм.
- Если взятая Петей монета является настоящей (имеет обычный вес), и остальные 100 монет фальшивые, то стрелка на весах также будет указывать разность весов в 1 грамм.

Таким образом, независимо от того, фальшивая или настоящая монета была взята Петей, он сможет определить ее при помощи взвешивания на весах.

7. На доске написано число 60. Петя и Вася играют в следующую игру: за один ход разрешается уменьшить число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль. Начинает Петя. Кто выиграет, если и Петя и Вася будут делать максимально выгодные для себя шаги?

Для ответа на этот вопрос, надо рассмотреть стратегии обоих игроков.

- Петя начинает игру и может уменьшить число 60 на любой из его делителей. Он может выбрать 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 или 60.

Если Петя выбирает делитель, то оставшееся число становится доступным для Васи. В свою очередь, Вася должен выбирать максимально выгодные для себя делители.

- Если Петя выбрал делитель 1, то Вася может выбрать любой делитель и получить 0. Вася выигрывает.
- Если Петя выбрал делитель 2, то Вася выбирает делитель 1 и получает число 30.
- Если Петя выбрал делитель 3, то Вася выбирает делитель 1 и получает число 20.
- Если Петя выбрал делитель 4, то Вася выбирает делитель 1 и получает число 15.
- Если Петя выбрал делитель 5, то Вася выбирает делитель 1 и получает число 12.
- Если Петя выбрал делитель 6, то Вася выбирает делитель 1 и получает число 10.
- Если Петя выбрал делитель 10, то