..............................................................................
Решить неравенство


..............................................................................Решить неравенство

kknopcka kknopcka    1   20.07.2020 02:58    0

Ответы
ayubabdulmanapov ayubabdulmanapov  15.10.2020 15:26

\displaystyle \left \{ {{\dfrac{|x^{2} - 2x - 6| - |x^{2} - 6|}{\sqrt{6 - x - x^{2}} } \geq 0,} \atop {\sqrt{9 - x^{2}} + \dfrac{|x|}{x} \geq 0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \right.

1) \ \dfrac{|x^{2} - 2x - 6| - |x^{2} - 6|}{\sqrt{6 - x - x^{2}} } \geq 0

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

\displaystyle \left \{ {|x^{2} - 2x - 6| - |x^{2} - 6| \geq 0,} \atop {6 - x - x^{2} 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.

1.1) \ |x^{2} - 2x - 6 | - |x^{2} - 6| \geq 0

Нули модулей:

\displaystyle \left [ {{x^{2} - 2x - 6 = 0, } \atop {x^{2} - 6 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \, }} \right. \ \ \ \left [ {{x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{7}} \atop {x_{3,4} = \pm \sqrt{6} \ \ \, }} \right.

Раскроем модули на пяти участках, используя правило раскрытия модуля:

|f(x)| = \displaystyle \left \{ {{f(x), \ f(x) \geq 0, \ \, } \atop {-f(x), \ f(x) < 0}} \right.

\text{I}) \ x \in (-\infty; \ -\sqrt{6})

(x^{2} - 2x - 6) - (x^{2} - 6) \geq 0

x^{2} - 2x - 6 - x^{2} + 6 \geq 0

-2x \geq 0

x \leq 0

Учитывая условие, x \in (-\infty; \ -\sqrt{6})

\text{II}) \ x \in [-\sqrt{6}; \ 1 - \sqrt{7}]

(x^{2} - 2x - 6) - (-(x^{2} - 6)) \geq 0

x^{2} - 2x - 6 + x^{2} - 6 \geq 0

2x^{2} - 2x - 12 \geq 0

x^{2} - x - 6 \geq 0

(x + 2)(x - 3) \geq 0

x \in (-\infty; \ -2] \cup [3; \ +\infty)

Учитывая условие, x \in [-\sqrt{6}; \ -2]

\text{III}) \ x \in (1 - \sqrt{7}; \ \sqrt{6})

-(x^{2} - 2x - 6) - (-(x^{2} - 6)) \geq 0

-x^{2} + 2x + 6 + x^{2} - 6 \geq 0

2x \geq 0

x \geq 0

Учитывая условие, x \in [0; \ \sqrt{6})

\text{IV}) \ x \in [\sqrt{6}; \ 1 +\sqrt{7}]

-(x^{2} - 2x - 6) - (x^{2} - 6) \geq 0

-x^{2} + 2x + 6 - x^{2} + 6 \geq 0

-2x^{2} + 2x + 12 \geq 0

x^{2} - x - 6 \leq 0

(x + 2)(x - 3) \leq 0

x \in [-2; \ 3]

Учитывая условие, x \in [\sqrt{6}; \ 3]

\text{V}) \ x \in (1 + \sqrt{7}; \ +\infty)

(x^{2} - 2x - 6) - (x^{2} - 6) \geq 0

x \leq 0

Нет решений.

Объединим все пять случаев решения:

x \in (-\infty; \ -2] \cup [0; \ 3]

1.2) \ 6 - x - x^{2} 0

x^{2} + x - 6 < 0

(x + 3)(x - 2)< 0

x \in (-3; \ 2)

Имеем:

\displaystyle \left \{ {{x \in (-\infty; \ -2] \cup [0; \ 3]} \atop {x \in (-3; \ 2) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,}} \right.

Находим пересечение решений:

x \in (-3; \ -2] \cup [0; \ 2)

2) \ \sqrt{9 - x^{2}} + \dfrac{|x|}{x} \geq 0

Ограничения:

\displaystyle \left \{ {{9 - x^{2} \geq 0,} \atop {x \neq 0 \ \ \ \ \ \ \ }} \right. \ \ \ \ \ \ \left \{ {{x \in [-3; \ 3] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, } \atop {x \in (-\infty; \ 0) \cup (0; \ +\infty)} } \right.

x \in [-3; \ 0) \cup (0; \ 3]

2.1) \ x \in [-3; \ 0)

\sqrt{9 - x^{2}} + \dfrac{-x}{x} \geq 0

\sqrt{9 - x^{2}} \geq 1

(\sqrt{9 - x^{2}})^{2} \geq 1^{2}

9 - x^{2} \geq 1

x^{2} - 8 \leq 0

(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2}) \leq 0

x \in [-2\sqrt{2}; \ 2\sqrt{2}]

Учитывая условие, x \in [-2\sqrt{2}; \ 0)

2.2) \ x \in (0; \ 3]

\sqrt{9 - x^{2}} + \dfrac{x}{x} \geq 0

\sqrt{9 - x^{2}} \geq -1

x \in (0; \ 3]

Объединяем решения:

x \in [-2\sqrt{2}; \ 0) \cup (0; \ 3]

Получили решения обоих неравенств в системе неравенств:

\displaystyle \left \{ {{x \in (-3; \ -2] \cup [0; \ 2) \ \, } \atop {x \in [-2\sqrt{2}; \ 0) \cup (0; \ 3]}} \right.

Находим пересечение решений:

x \in [-2\sqrt{2}; \ -2] \cup (0; \ 2)

ответ: x \in [-2\sqrt{2}; \ -2] \cup (0; \ 2)

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра